2 Нелинейные формулы.

Ранее мы видели, что нелинейная аппроксимация может существенно повысить точность расчетов, особенно для быстропеременных функций.

В случае интегрирования подбор подходящего приближения становится очень сложным, ибо интеграл от аппроксимирующей функции должен точно вычисляться, иначе метод будет практически бесполезен.

Таблица 14

Обычно стараются найти выравнивающие переменные, в которых уже два свободных параметра обеспечивали бы удовлетворительную аппроксимацию. На отрезке [а, b] вводят сетку и на каждом интервале сетки функцию заменяют нелинейной интерполяционной функцией, в которой параметры выражены через табличные значения функции. Например, если функция близка к экспоненте, то согласно (2.19)

Если на каждом интервале проинтегрировать это выражение вместо исходной функции, то получим обобщенную квадратурную формулу

Разумеется, для неэкспоненциальных функций эта формула не обеспечит хорошей точности.

Такие формулы напоминают обобщенную формулу трапеций, ибо они построены при помощи двухпараметрической интерполяции лагранжева типа, которая для каждого интервала сетки выполняется отдельно. Если воспользоваться интерполяцией эрмитова типа, то получим формулы, сходные с обобщенной формулой средних. Например, если по-прежнему считать f(x) и потребовать правильной передачи функции и производной в точке то получим . Использование этой аппроксимации на каждом шаге дает такую квадратурную формулу:

Эта и предыдущая формулы написаны для произвольной сетки.

Можно показать, что если исходная и аппроксимирующая функции имеют непрерывные вторые производные, то формулы такого типа имеют второй порядок точности.

Оценим, например, погрешность формулы (34). Для этого разложим на интервале функцию в ряд Тейлора

Используемые здесь производные можно найти, поскольку и т. д. Возвращаясь к функции и учитывая, что в силу исходного предположения о почти экспоненциальном виде функции, получим

Если проинтегрировать последнее выражение по отрезку и просуммировать по всем отрезкам, то единица в квадратных скобках приведет к квадратурной формуле (34), а второй член даст главную часть погрешности

где коэффициенты выражаются некоторым образом через значения интегрируемой функции и ее производных. Заменяя эти коэффициенты их максимальными значениями, получим оценку погрешности

что и требовалось доказать.

Нелинейные формулы повышенного порядка точности, аналогичные формулам Симпсона или Гаусса, не употребляют, ибо их слишком сложно строить. Повышенный порядок точности получают (разумеется, если функции имеют требуемые непрерывные производные) таким приемом: строят подходящую несложную нелинейную формулу невысокого порядка точности и проводят по ней расчеты на последовательности сгущающихся равномерных или квазиравномерны сеток; полученные результаты уточняют методом Рунге — Ромберга или процессом Эйткена. Однако этот прием применим только при не очень крупном шаге (см. п. 3).

Отметим, что линейные однородные квадратурные формулы (3) имеют те же свойства, что и сам интеграл: при умножении функции на число сумма умножается на то же число, а при сложении функций соответствующие квадратурные суммы складываются. Для нелинейных квадратурных формул эти свойства могут не выполняться (то же относится к задачам интерполяции и дифференцирования). Например, формулы и (34) не аддитивны.