8. Нелинейная интерполяция.

Полиномиальная интерполяция по оценке (11) имеет погрешность и при повышении порядка точности формулы на единицу погрешность меняется примерно в раз. Если шаг достаточно мал, то погрешность при этом уменьшается. Но если шаг велик, или производные быстро растут с увеличением порядка, то погрешность может увеличиваться при увеличении порядка точности формулы. С этим часто приходится сталкиваться при работе с быстро меняющимися функциями.

Таблица 5

Пример 1. Пусть требуется найти значение если функция задана таблицей 5 (в ней выписаны не только значения функции, но и разделенные разности). Используя интерполяционный многочлен Ньютона и ведя вычисления по верхней строке таблицы 5, запишем последовательно члены все более высоких порядков:

Этот ряд содержит быстро возрастающие члены и совсем не похож на сходящийся; поэтому вычислить функцию с его помощью не удается. Функция слишком быстро меняется или, что то же самое, шаг сетки слишком велик для данной функции (рис. 5, а).

Как интерполировать такие функции, если более подробных таблиц нет? Универсального рецепта, пригодного для любой функции, не существует. Однако для конкретной функции нередко удается найти свой способ интерполяции, дающей разумную точность. Такая интерполяция обычно нелинейна.

Для этого нужно располагать дополнительной информацией о качественном поведении функций. Часто ее можно получить, зная физический смысл

Например, проходящий через поглощагощую среду свет ослабляется примерно по экспоненциальному закону; сопротивление движению в газе зависит от скорости примерно как , где для ламинарного движения, для турбулентного и вблизи звукового барьера. Нередко помогают формальные математические соображения — изучение графика функции и сравнение его с графиками хорошо изученных функций (в первую очередь элементарных).

Рис. 5.

Выяснив качественное поведение функции, стараются подобрать такое преобразование переменных чтобы в новых переменных график мало отличался от прямой на протяжении нескольких шагов таблицы. Тогда в переменных интерполяция многочленом невысокой степени будет давать хорошую точность. Вычисления заключаются в составлении таблицы для новых переменных интерполяции по ней и нахождении обратным преобразованием. Этот способ называют методом выравнивания.

Пример 2. Проиллюстрируем метод выравнивания на примере функции, заданной таблицей 5. Нетрудно заметить, что зависимость близка к показательной, значит, в переменных график будет почти прямым (рис. 5, б). Составим новую таблицу 6 и проведем интерполяцию по формуле Ньютона

Теперь члены ряда быстро убывают, обеспечивая хорошую точность; считая, что точность примерно равна последнему члену ряда, обратным преобразованием получим, что . Очевидно, что удачно подобранное выравнивание позволило получить высокую точность интерполяции.

Замечание 1. Для каждой конкретной функции подбирают свой вид нелинейной интерполяции. Для других функций этот вид, как правило, будет давать плохую точность.

Замечание 2. Оценка погрешности такой интерполяции содержит старшие производные Их трудно найти, поэтому на практике удобнее оценивать точность по скорости убывания членов в формуле Ньютона, как было сделано выше.

Употребителен также следующий прием: для одного из узлов вычисляют интерполяцией по соседним узлам и сравнивают с табличным значением

Таблица 6

Пример 3. Отбросим в таблице 6 узел и связанные с ним разделенные разности. По оставшимся трем узлам приближенно вычислим отброшенное значение т] (1) 1,0382 или . Последняя величина бтличается от табличного значения на 0,8%. Это вычисление велось фактически с шагом многочленом второй степени, имеющим погрешность Значит, при вычислениях с шагом погрешность должна уменьшиться в раз и составить -Это хорошо согласуется с оценкой по последнему члену ряда, сделанной выше.

Замечание 3. Оба прямых преобразования и обратное преобразование должны выражаться несложными формулами, иначе метод выравнивания будет малопригодным на практике. Удобны преобразования типа логарифмирования, вычисления экспонент, тригонометрических функций и другие, имеющиеся в библиотеках стандартных программ современных ЭВМ (или легко выполнимые на логарифмической линейке).

Замечание 4. В исходных переменных интерполяция нелинейна относительно параметров; в данном примере она имела вид Однако в переменных она линейна по параметрам. Такая нелинейность мало осложняет работу, поэтому интерполяцию подобного вида будем называть квазилинейной.

Встречаются случаи, когда метод выравнивания неприменим. Например, если , то не удается найти такие координаты, которые превращали бы график в прямую и не содержали бы явно параметров а; b, с. Тогда зависимость от параметров не сводится к линейной и отыскать параметры и выполнить интерполяцию нелегко. Такую интерполяцию будем называть существенно нелинейной; на практике она используется крайне редко.

Замечание 5. Если выравнивающие преобразования переменных просты, то иногда удается явно выразить через табличные значения функции в исходных переменных.

Например, двухточечная интерполяция многочленом Ньютона в выравнивающих переменных имеет следующий вид:

Если при выравнивании используется преобразование у, то, возвращаясь к исходным переменным, получим

Но при большем числе узлов интерполяции подобные формулы становятся настолько громоздкими, что более выгодно не пользоваться ими, а проводить вычисления в выравнивающих переменных.