§ 3. Задачи на собственные значения

1. Постановки задач.

Задачи на собственные значения — это краевые задачи для системы уравнений первого порядка

в которых правые части зависят от параметров значения которых неизвестны и должны быть определены из самой задачи; число дополнительных (краевых) условий соответственно равно Функции , и значения параметров , удовлетворяющие всем уравнениям и краевым условиям, называются собственными функциями и собственными значениями задачи.

Задачи на собственные значения часто встречаются в физике и технике. Например, определение собственных колебаний струны приводит к задаче для линейного уравнения второго порядка с одним параметром

а собственных колебаний упругого стержня — к линейному уравнению четвертого порядка (краевые условия зависят от способа закрепления струны или стержня).

Дифференциальное уравнение второго порядка возникает при нахождении спектра атома водорода. Нахождение уровней энергии многоэлектронного атома в приближении Хартри — Фока приводит к задаче для системы нелинейных уравнений, в которой число функций и число параметров равно числу электронов атома.

Исследование корректности постановки задачи на собственные значения еще более сложно, чем для краевых задач. Исследованы в основном линейные задачи с одним параметром. Однако в курсах теории колебаний и квантовой механики имеется немало примеров, из которых видно, что в зависимости от постановки задачи собственные значения могут существовать или не существовать, быть вещественными или комплексными; спектр собственных значений может быть дискретным, сплошным, состоящим из полос или являющимся комбинацией перечисленных случаев.

Наиболее употребительными численными методами решения задач на собственные значения являются метод стрельбы и разностный метод, подробно рассмотренные ниже. Из приближенных методов упомянем методы Ритца и Галеркина.