§ 3. Устойчивость

1. Неустойчивость.

Для некоторых разностных уравнений малые ошибки, допущенные на каком-либо этапе вычисления решения, при дальнейших выкладках сильно возрастают и делают невозможным получение сколько-нибудь пригодного результата.

При численном дифференцировании и суммировании рядов Фурье мы встречались с некорректными задачами, где бесконечно малая ошибка входных данных может привести к большой ошибке решения. Теперь рассмотрим пример неустойчивой разностной схемы решения задачи Коши для уравнения и . Выберем следующую схему:

При она переходит в схему ломаных (8.15), устойчивость которой была доказана. Рассмотрим случай

Для простоты отбросим ошибку аппроксимации и исследуем только рост ошибки начальных данных. Тогда ошибка будет удовлетворять тому же уравнению (43), ибо оно линейное однородное. Удобно исследовать рост ошибки специального вида . Подставляя ее в (43), получим

Если , то корни этого квадратного уравнения равны . Тогда при будет , т. е. ошибка такого вида, возрастает за шаг в несколько раз. Значит, неограниченно возрастает и счет неустойчив.

Если учесть еще ошибку аппроксимации, то получим типичные графики зависимости погрешности решения от шага, приведенные на рис. 54. Сплошная линия соответствует устойчивой схеме, штрихи — неустойчивой. При уменьшении шага ошибка сначала для всех схем убывает, потому что уменьшается погрешность аппроксимации. Для устойчивых схем при ошибка стремится к конечной величине, связанной с ошибкой начальных данных.

Если сама ошибка начальных данных исчезает при то мы получим график, изображенный пунктиром; т. е. устойчивые схемы позволяют получить сколь угодно высокую точность (если отсутствуют ошибки округления).

Если же схема неустойчива, то при малых шагах погрешность начальных или любых других данных сильно возрастает в ходе расчета и при ошибка стремится к бесконечности.

Значит, график ошибки имеет ненулевой минимум, и мы в принципе не можем получить сколь угодно высокую точность приближенного решения.

Рис. 54.

Правда, для неустойчивых схем есть некоторый оптимальный шаг, дающий наилучшую точность (это напоминает сходимость асимптотических рядов). Но эта наилучшая точность обычно настолько плоха, что считать по неустойчивым схемам практически невозможно.

Теоретически счет по неустойчивым схемам возможен, если начальные данные таковы, что погрешность их задания при убывает быстрее, чем нарастает неустойчивость. Но класс начальных данных, удовлетворяющих этому условию, обычно крайне узок и не охватывает даже малой части интересных случаев. Как правило, погрешности входных данных и аппроксимации убывают при по степенному закону, а величина возрастает много быстрей.

Отметим, что на устойчивость могут сильно влиять способы аппроксимации не только старших производных уравнения, но и младших производных и особенно краевых условий.