10. Монотонная интерполяция.

Монотонность — важное свойство функций. Например, возьмем таблицы синусов с шагом аргумента тогда на каждые 89 интервалов, в которых функция будет монотонна, придется всего 1 интервал, содержащий экстремум. Поэтому при интерполяции нередко желательно сохранять монотонность функции.

Если интерполяционная функция монотонна по то интерполяция будет монотонной. Классический пример — двухточечная интерполяция многочленом Ньютона Другим примером может служить двухточечная квазилинейная интерполяция (19). Очевидно, если интерполяция квазилинейная двухточечная, а преобразования монотонны, то интерполяция будет монотонной.

При трехточечпой интерполяции монотонность может нарушиться. В таблице функция, по-видимому, монотонна. Но если использовать многочлен Ньютона с тремя узлами, т. е. оставить в формуле Ньютона только три члена, то получим что нарушает монотонность. Очевидно, это результат использования немонотонной интерполяционной функции — параболы

Двухточечная интерполяция имеет погрешность и ее точность не всегда достаточна; а увеличение числа узлов может внести немонотонность. Конечно, если интерполяционный ряд Ньютона (8) хорошо сходится, а монотонность все-таки нарушена, то это означает, что функция на самом деле немонотонна. Но нередко мы вынуждены ограничиваться заданным в формуле (или программе для ЭВМ) числом узлов. Если при этом надо сохранить монотонность, то можно поступать следующим образом.

Найдем такие соседние точки сетки, чтобы выполнялось Проведем вычисления по заданной многоточечной интерполяционной формуле и получим . Если это значение лежит между значениями , то считаем ответ правильным. Если оно выходит за пределы интервала, определяемого значениями , то вместо у в качестве ответа берем ближайшее из этих двух значений, т. е. полагаем

Эта монотонная интерполяция бывает полезна, например, при составлении разностных схем для уравнений в частных производных (глава X, § 1, п. 6).