5. Перенос с поглощением.

Для неоднородного уравнения переноса (3) от способа аппроксимации правой части зависит только порядок аппроксимации. Для получения схемы второго порядка (12) следует выбирать так, чтобы выполнялось условие

В схемах первого порядка достаточно было требовать, чтобы

этого можно, например, положить равным в любой точке ячейки. На устойчивость выбор не влияет.

Положение несколько изменится, если правая часть зависит от решения и. Рассмотрим это на примере простейшей линейной зависимости когда уравнение переноса принимает вид

Будем искать решение этого уравнения в виде и Подставляя его в (30), получим для однородное уравнение переноса общее решение которого является бегущей волной . Следовательно, общее решение задачи Коши для уравнения (30) имеет вид

(31)

Оно описывает перенос частиц по характеристикам при наличии поглощения (если ) или размножения (если ) частиц.

Дальше мы ограничимся случаем когда точное решение экспоненциально убывает со временем. Рассмотрим два варианта явной схемы (9):

отличающиеся только аппроксимацией члена с поглощением. Обе схемы имеют первый порядок аппроксимации. Исследуем их устойчивость методом разделения переменных.

Делая стандартную подстановку гармоники , получим для схемы (32) множитель роста

Если выполнено условие Куранта , то для любых гармоник справедливо неравенство , так что схема (32) не только устойчива, но и хорошо обусловлена: ошибки не нарастают, а неограниченно убывают при

Для схемы (33) множитель роста

Если положить , то для гармоники с выполняется соотношение , т. е. устойчивость слабая. Таким образом, характер устойчивости схем (32) и (33) является не вполне одинаковым.

Это различие проявляется сильней, если рассмотреть асимптотическую устойчивость схем (соответствующую поведению относительной погрешности при ). Точное решение убывает, как , так что его гармоники за один шаг затухают, как . Гармоники схемы (32) затухают не медленнее, так что схема (32) асимптотически устойчива при . Наоборот, у схемы (33) при нет асимптотической устойчивости: гармоника с не только не убывает, а даже возрастает.

Этот пример показывает, что на устойчивость может влиять способ аппроксимации не только высших производных данного уравнения, но и всех остальных членов.

Замечание. Общее решение (31) положительно, если начальные данные были положительны. Нетрудно показать, что схема (32) сохраняет это свойство общего решения. Если же схему (33) переписать в форме

то нетрудно видеть, что при достаточно большом коэффициенте (и не слишком малом шаге ) возможны случаи, когда становится отрицательным при

Фактически это приводит к дополнительному ограничению на шаг схемы (33). В задачах с сильным поглощением это ограничение, формально не связанное с устойчивостью, может оказаться достаточно жестким.