§ 2. Среднеквадратичное приближение

1. Наилучшее приближение.

Интерполяция позволяет легко аппроксимировать функцию . Однако точность такой аппроксимации гарантирована лишь в небольшом интервале порядка нескольких шагов сетки. Для другого интервала приходится заново вычислять коэффициенты интерполяционной формулы. Нам же всегда желательно иметь единую приближенную формулу пригодную длябольшого отрезка . Поэтому далее будем сравнивать заданную и аппроксимирующую функции на большом отрезке.

При интерполяции мы приравниваем значения у в узлах. Если определены неточно — например, из эксперимента, - то точное приравнивание неразумно. Поэтому нередко целесообразней приближать функцию не по точкам, а в среднем, т. е. в норме

Пусть заданы функция и множество функций принадлежащие линейному нормированному пространству функций. Нас интересуют две задачи. Первая — аппроксимация с заданной точностью: по заданному найти такую чтобы выполнялось неравенство Второе — нахождение наилучшего приближения, т. е. функции удовлетворяющей соотношению

Существует ли наилучшее приближение и единственно ли оно (для данных функции и множества)? Это имеет место не при любом выборе пространства и множества. Например, в пространстве выберем функцию и множество тогда

В самом деле, при эта норма равна площади заштрихованной трапеции на рис. 10, а, т. е. двум.

При эта норма, согласно рис. 10, б, равна площади заштрихованной трапеции (которая опять равна двум) плюс площади заштрихованных треугольников. Значит, для любого с, по модулю меньшего единицы, минимизирует норму отклонения, т. е. наилучшее приближение здесь существует, но оно не единственно.

Рис. 10.

Выведем достаточное условие существования наилучшего приближения. Пусть в линейном пространстве функций выбрано множество, образованное функциями вида

где функции можно считать линейно-независимыми. Это множество есть линейное подпространство нашего пространства. Изменим один из коэффициентов суммы (37) на величину из неравенства треугольника (1.3) следует

т. е. норма непрерывно зависит от . Очевидно, также есть непрерывная функция коэффициентов .

Рассмотрим нормы как функции координат . Сфера

есть замкнутое ограниченное множество, поэтому на этой сфере имеет точную нижнюю грань и в силу непрерывности достигает ее при некотором Очевидно, в противном случае , что противоречит линейной независимости

Возьмем шар где — какое-то положительное число. В силу однородности нормы - функции вне этого, шара и, следовательно, Значит, вне этого шара норма погрешности заведомо далека от нижней грани. Только внутри шара достаточно близки по норме. Но шар — ограниченное и замкнутое множество значений координат поэтому непрерывная функция координат достигает на нем точной нижней грани.

Следовательно, в любом линейном нормированном пространстве при линейной аппроксимации (37) наилучшее приближение существует, хотя не во всяком линейном пространстве оно единственно.

На практике используются пространства и С. В этом параграфе рассмотрим приближения в пространстве , т. е. среднеквадратичную аппроксимацию.