2. Продольно-поперечная схема

Называемая также схемой переменных направлений, является одной из лучших двумерных экономичных схем. Выберем изображенный на рис. 83 шаблон, содержащий полуцелый слой и составим на нем эту схему:

где разностные операторы определены формулами (57). Как обычно, под у подразумевается значение на полуцелом слое

Исследуем продольно-поперечную схему.

Вычисление разностного . Переход на полуцелый слой делается при помощи уравнений (59а). Согласно определению оператора каждое такое уравнение содержит три неизвестных значения: остальные значения у берутся с исходного слоя. Иными словами, при таком переходе схема неявна по направлению и явна по направлению При любом фиксированном индексе уравнения (59а) образуют относительно неизвестных линейную систему с трехдиагональной матрицей.

Поэтому значения легко вычисляются одномерной прогонкой по индексу , т. е. по направлению

Наоборот, при переходе при помощи уравнений (596) с полуцелого слоя на целый схема явна по направлению и неявна по Поэтому решение на целом слое вычисляется тоже одномерной прогонкой, но в поперечном направлении Нетрудно подсчитать, что для перехода с целого на целый слой нужно всего 20 — 30 действий на каждую точку сетки независимо от величин шагов, так что схема экономична.

Как и в одномерной схеме (6), диагональные матричные элементы в уравнениях (59) преобладают; следовательно, прогонка устойчива, а разностное решение существует и единственно.

Устойчивость продольно-поперечной схемы исследуем методом разделения переменных. Множители роста гармоники на первом и втором полушаге по времени могут быть различными. Поэтому положим

(00)

Подставляя соотношения (60) в схему (59), получим множители роста

Нетрудно заметить, что для всех гармоник при любых шагах выполняется неравенство . Таким образом, при переходе с одного целого слоя на следующий целый слой ошибки начальных данных не нарастают, и схема (59) равномерно и безусловно устойчива по начальным данным.

Нетрудно проверить, что дополнительный признак устойчивости по правой части (9.54) выполняется на каждом полушаге по времени. Следовательно, схема (59) устойчива по правой части.

Замечание 1. Если , то существуют такие гармоники, которые усиливаются при переходе с целого слоя на полуцелый; например, Зато при переходе с полуцелого на следующий целый слой эти гармоники настолько затухают, что в целом усиления не происходит. Аналогично, при есть гармоники, усиливающиеся при переходе с полуцелого слоя на целый.

Замечание 2. Суммарный множитель роста таков, что только при для всех остальных гармоник Следовательно, продольно-поперечная схема обладает аппроксимационной вязкостью и расчет по ней должен приводить к сглаживанию разрывов.

Аппроксимация. При переходе с целого на полуцелый слой каждая пространственная разность вычисляется несимметрично по времени и погрешность равна Но ошибка на второй половине слоя компенсирует первую, и в итрге при переходе с целого слоя на целый погрешность локальной аппроксимации на равномерных сетках есть

В этом легко убедиться при помощи следующего преобразования. Вычитая уравнение (596) из (59а), получим

Сложим уравнения (59) и подставим в них полученное значение исключив тем самым полуцелый слой:

Предпоследний член справа есть а остальные члены в (63) совпадают с симметричным вариантом схемы (56), который соответствует и имеет аппроксимацию Поскольку продольно-поперечная схема отличается от этого варианта на член она также имеет второй порядок аппроксимации по всем переменным.

Остановимся на аппроксимации краевых условий (556). На целом слое в уравнения продольно-поперечной схемы (59) входят значения решения на сторонах прямоугольника очевидно, надо положить

Для полуцелого слоя требуются значения на сторонах Полагать невыгодно, ибо полуцелый слой не вполне соответствует моменту 1 и такая аппроксимация внесла бы погрешность . Следует воспользоваться уравнением (62), отнесенным к стороне

аналогичное условие записывается для стороны Граничные условия (64) обеспечивают погрешность аппроксимации

Сходимость. Проведенное исследование аппроксимации и устойчивости показывает, что схема (59) безусловно сходится в причем в прямоугольной области на равномерной сетке и при краевом условии (64) она имеет точность на решениях с непрерывными пятыми производными.

Более сложными методами можно доказать равномерную сходимость со вторым порядком точности.

Отметим некоторые усложнения исходной задачи (55).

Произвольная область. Пусть для уравнения (55а) в области произвольной формы заданы краевые условия первого рода

Тогда разностное краевое условие (646) не удается применить, ибо неясно, как вычислять . Приходится ограничиться условиями

где у — множество граничных узлов. Погрешность аппроксимации условия (65) на полуцелом слое равна Поэтому в произвольной области схема (59) сходится с точностью

Если область ступенчатая, т. е. составлена из прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, то в ней можно написать краевое условие повышенной точности (646). В этом случае схема (59) имеет второй порядок точности.

Переменный коэффициент теплопроводности. Для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом можно составить два варианта продольно-поперечной схемы, являющихся обобщением наилучшей схемы (34). В первом варианте на всех слоях исходном, полуцелом и новом целом разностный коэффициент теплопроводности я приписывают полуцелому слою i] во втором варианте на этих слоях берут соответственно

Оба варианта успешно применяются на практике. Второй вариант лучше исследован теоретически; для него доказана безусловная сходимость в прямоугольной области с точностью если коэффициент непрерывен со своими вторыми производными.

Анизотропная теплопроводность в простейшем случае приводит к тому, что по каждому направлению имеется свой коэффициент . В этом случае уравнение теплопроводности принимает вид

Продольно-поперечная схема, ее обобщения и все теоретические обоснования переносятся на этот случай практически без изменений.