4. Разностный метод; линейные задачи.

Подробно рассмотрим разностный метод на примере простейшей краевой задачи для линейного уравнения второго порядка с краевыми условиями первого рода

Введем на сетку которую для упрощения выкладок будем считать равномерной. Приближенно выразим вторую производную от решения через значения решения в узлах сетки например, воспользуемся простейшей аппроксимацией (3.7):

(65)

Такую аппроксимацию можно записать в каждом внутреннем узле сетки Если подставить ее в уравнение (64а), то уравнение станет приближенным; точно удовлетворять этому уравнению будет уже не искомое решение а некоторое приближенное решение . Выполняя эту подстановку и обозначая получим

Эта система состоит из алгебраического уравнения, а неизвестными в ней являются приближенные значения решения в узлах сетки. Число неизвестных равно т. е. оно больше, чем число уравнений (66а). Недостающие два уравнения легко получить из краевых условий (646):

Решая алгебраическую систему (66а, б), найдем приближенное решение.

При таком подходе возникает три вопроса. 1) Существует ли (вещественное) решение алгебраической системы типа (66)?

Как фактически находить это решение? 3) Сходится ли разностное решение к точному в какой-либо норме при стремлении шага сетки к нулю?

В качестве иллюстрации проведем полное исследование рассмотренного выше примера, дополнительно требуя

Сначала рассмотрим вопрос о существовании разностного решения. Исходная задача (64) была линейной, разностная аппроксимация (65) тоже линейна. Благодаря этому система (66а, б) оказалась системой линейных алгебраических уравнений. Поскольку то в матрице этой системы диагональные элементы преобладают: в каждой строке модуль диагонального элемента больше суммы модулей остальных элементов. Как отмечалось в главе V, § 3, п. 4, при этом решение линейной системы существует и единственно.

Вычислить решение линейной системы всегда можно методом исключения Гаусса. В данном случае благодаря использованию трехточечной аппроксимации (65) система (66) имеет трехдиагональную матрицу. Поэтому решение экономично находится частным случаем метода Гаусса — методом алгебраической прогонки (см, главу V, § 1, п. 5),

Докажем утверждение: если дважды непрерывно дифференцируемы, то разностное решение равномерно сходится к точному с погрешностью при

При сделанном предположении и имеет четвертую непрерывную производную; тогда для погрешности аппроксимации (65) справедливо соотношение (3.12):

Значит, точное решение удовлетворяет разностному уравнению

Вычитая из него уравнение (66а), получим уравнение, которому удовлетворяет погрешность его удобно записать в следующем виде:

Последние два уравнения являются очевидным следствием того, что уравнение (666) точно передает граничное условие первого рода.

Выберем такую точку , где достигает своего максимума; очевидно, это не граничная точка.

Учитывая условие сравним в этой точке модули правой и левой частей уравнения (67а):

Заменяя в правой части на мы только усилим неравенство и после сокращений получим оценку погрешности

Утверждение доказано.

Сейчас была найдена мажорантная оценка погрешности. При некоторых дополнительных ограничениях можно получить асимптотическую оценку типа где — некоторая функция (общая теорема о таких оценках будет доказана в главе IX). Из наличия асимптотической оценки следует возможность применения правила Рунге—Ромберга для апостериорной оценки точности или для уточнения решения при помощи расчетов на сгущающихся сетках.

Остановимся на устойчивости расчета. Если , то задача Коши для уравнения (64а) плохо обусловлена, причем чем больше , тем хуже ее устойчивость. А из оценки (68) видно, что погрешность нашего разностного решения при большом мала. Отсюда видно, что хорошо построенные разностные схемы нечувствительны к неустойчивости задачи Коши.

В обратном случае не выполняется достаточное условие устойчивости алгебраической прогонки (5.14). Однако в практике численных расчетов нарушение этого условия обычно не вызывает заметного ухудшения устойчивости. Только в редких случаях, когда определитель алгебраической системы (66) почти равен нулю, точность расчета резко падает из-за возрастания ошибок округления.

Чтобы легко опознать и исключить такую потерю устойчивости, можно провести расчет на трех (или более) сетках с различными шагами. Если при убывании все разностные решения близки между собой и стремятся к некоторому пределу со скоростью то это свидетельствует о хорошей устойчивости.

Пример. Возьмем частный случай задачи (64), соответствующий

и воспользуемся разностной схемой (66). Если выбрать шаг сетки , то алгебраическая система фактически будет состоять из одного уравнения, а при — из трех уравнений.

Разностное решение для этих случаев приведено в таблице 20. К этим двум решениям применено правило Рунге, и уточненное решение тоже представлено в таблице; для сравнения дано точное решение и Из таблицы видно, что рассмотренная разностная схема дает неплохие результаты даже на сетке с большим шагом.

Таблица 20

Заметим, что, зная разностное решение в узлах сетки, можно интерполяцией получить приближенное решение при произвольных значениях . Точность интерполяции целесообразно согласовывать с точностью разностного решения: например, для схемы (66) интерполировать многочленом первой степени, имеющим точность а уточненное решение у интерполировать многочленом второй степени.