3. Метод Пикара.

Это приближенный метод решения, являющийся обобщением метода последовательных приближений (см. главу V, § 2). Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого порядка

Интегрируя дифференциальное уравнение, заменим эту задачу эквивалентным ей интегральным уравнением типа Вольтерра

Решая это интегральное уравнение методом последовательных приближений, получим итерационный процесс Пикара

(приближенное решение, в отличие от точного, мы будем обозначать через у). На каждой итерации этого процесса интегрирование выполняется либо точно, либо численными методами, описанными в главе IV.

Докажем сходимость метода, предполагая, что в некоторой ограниченной области правая часть непрерывна и удовлетворяет по переменной и условию Липшица

Поскольку область ограничена, то выполняются соотношения Обозначим погрешность приближенного решения через Вычитая (8) из (9) и используя условие Липшица, получим

Решая это рекуррентное соотношение и учитывая, что найдем последовательно

Отсюда следует оценка погрешности

Видно, что при , т. е. приближенное решение равномерно сходится к точному во всей области .

Пример. Применим метод Пикара к задаче Коши для уравнения (3), решение которого не выражается через элементарные функции

В этом случае квадратуры (9) вычисляются точно, и мы легко получаем

и т. д. Видно, что При эти приближения быстро сходятся и позволяют вычислить решение с высокой точностью,

Из этого примера видно, что метод Пикара выгодно применять, если интегралы (9) удается вычислить через элементарные функции. Если же правая часть уравнения (7) более сложна, так что эти интегралы приходится находить численными методами, то метод Пикара становится не слишком удобным.

Метод Пикара легко обобщается на системы уравнений способом, описанным в п. 2. Однако на практике чем выше порядок системы, тем реже удается точно вычислять интегралы в (9), что ограничивает применение метода в этом случае.

Имеется много других приближенных методов. Например, С. А. Чаплыгин предложил метод, являющийся обобщением алгебраического метода Ньютона на случай дифференциальных уравнений. Другой способ обобщений метода Ньютона предложил Л. В. Канторович в 1948 г. В обоих этих методах, так же как и в методе Пикара, итерации выполняются при помощи квадратур. Однако квадратуры в них имеют гораздо более сложный вид, чем (9), и редко берутся в элементарных функциях. Поэтому эти методы почти не применяют.