2. Метод Ньютона.

Пусть известно некоторое приближение к корню . Как и для одной переменной, запишем исходную систему (43) в виде , где . Разлагая эти уравнения в ряды и ограничиваясь первыми дифференциалами, т. е. линеаризуя функцию, получим

Это система уравнений, линейных относительно приращений все коэффициенты этой системы выражаются через последнее приближение . Решив эту систему (например, методом исключения), найдем новое приближение .

Как и для одной переменной, метод Ньютона можно формально свести к методу последовательных приближений, положив где есть матрица, обратная матрице производных. Аналогично проводится теоретический анализ условий сходимости. Однако достаточное условие сходимости, записанное в координатной форме, здесь имеет настолько сложный вид, что проверить его выполнимость почти никогда не удается. Отметим только очевидный результат: в достаточно малой окрестности корня итерации сходятся, если , причем сходимость квадратичная.

Следовательно, если нулевое приближение выбрано удачно, то метод Ньютона сходится, причем очень быстро (обычно за 3 — 5 итераций). Поэтому на практике этот метод используют чаще всего.

В отличие от метода простых итераций, для метода Ньютона хорошим критерием окончания итераций является условие

В самом деле, вблизи корня ньютоновские итерации сходятся квадратично, поэтому если этот критерий выполнен, то Выбирая можно получить решение с десятком верных знаков.

Вычисления в методе Ньютона несколько сложнее, чем при простых итерациях, ибо на каждой итерации требуется находить матрицу производных и решать систему линейных уравнений. Поэтому в некоторых учебниках рекомендуют такой прием: вычислить матрицу только на начальной итерации и использовать ее на всех остальных итерациях.

Однако сходимость при этом видоизменении становится линейной, причем обычно не с малой константой, ибо матрица производных на начальной итерации может заметно отличаться от окончательной. Поэтому скорость сходимости заметно уменьшается и требуемое число итераций возрастает.