2. Структура погрешности.

Есть четыре источника погрешности результата: математическая модель, исходные данные, приближенный метод и округления при вычислениях. Погрешность математической модели связана с физическими допущениями и здесь рассматриваться не будет.

Исходные данные зачастую неточны; например, это могут быть экспериментально измеренные величины. В прецизионных физических измерениях точность доходит до но уже характерная астрономическая и геодезическая точность равна а во многих физических и технических задачах погрешность измерения бывает 1 — 10%. Погрешность исходных данных приводит к так называемой неустранимой (она не зависит от математика) погрешности решения . В следующем пункте будут рассмотрены случаи, когда неустранимая погрешность может становиться недопустимо большой.

Погрешность метода связана с тем, что точные оператор и исходные данные заменяются приближенными. Например, заменяют интеграл суммой, производную — разностью, функцию — многочленом или строят бесконечный итерационный процесс и обрывают его после конечного числа итераций. Методы строятся обычно так, что в них входит некоторый параметр; при стремлении параметра к определенному пределу погрешность метода стремится к нулю, так что эту погрешность можно регулировать. Погрешность метода мы будем исследовать при рассмотрении конкретных методов.

Погрешность метода целесообразно выбирать так, чтобы она была в 2 — 5 раз меньше неустранимой погрешности. Большая погрешность метода снижает точность ответа, а заметно меньшая — невыгодна, ибо это обычно требует значительного увеличения объема вычислений.

Вычисления как на бумаге, так и на ЭВМ выполняют с определенным числом значащих цифр. Это вносит в ответ погрешность округления, которая накапливается в ходе вычислений.

Рассмотрим накопление погрешности при простейших вычислениях. Пусть исходные данные известны с относительной погрешностью , т. е. заключены между их абсолютные погрешности равны Тогда при сложении или вычитании двух чисел результат равен с абсолютной погрешностью не более т. е. при этих операциях абсолютные погрешности складываются. При умножении (делении) результат равен с относительной погрешностью не более т. е. складываются относительные погрешности. На современных ЭВМ числа записываются с 10—12 десятичными знаками, поэтому в расчете на них погрешность единичного округления обычно пренебрежимо мала по сравнению с погрешностью метода и неустранимой погрешностью.

При решении больших задач выполняются миллиарды действий. Казалось бы, начальные ошибки возрастут в 109 раз и погрешность ответа будет огромной. Однако при отдельных действиях фактические погрешности чисел могут иметь разные знаки и компенсировать друг друга. Согласно статистике при N одинаковых действиях среднее значение суммарной ошибки превышает единичную примерно в VN раз, а вероятность заметного уклонения суммарной ошибки от среднего значения очень мала. Значит, если нет систематических причин, то случайное накопление ошибок не слишком существенно.

Систематические причины возникают, например, если алгоритм таков, что в нем есть вычитание близких по величине чисел: хотя абсолютная ошибка при этом невелика, относительная ошибка может стать большой.

Например, при нахождении корней квадратного уравнения по обычной формуле

в случае, когда относительная ошибка округления для положительного корня велика. Это надо заранее предусмотреть и преобразовать формулу так, чтобы избавиться от подобных вычитаний:

Этот пример очень прост. Существуют гораздо более сложные алгоритмы, где ошибки округления очень опасны: например, нахождение корней многочлена очень высокой степени (глава V, § 2, п. 8) или итерационное решение разностных схем для эллиптических уравнений при помощи чебышевского набора параметров (глава XII, § 1). в этих случаях только после серьезного исследования удалось так видоизменить алгоритм, чтобы довести ошибки округления до безопасного уровня.

Отметим, что в большинстве подобных задач неприятностей можно избежать, проводя расчет с двойной или тройной точностью. Такая возможность реализована в хороших математических обеспечениях ЭВМ; это в несколько раз увеличивает время расчета, зато позволяет пользоваться уже известными алгоритмами, а не разрабатывать новые.

При любых. расчетах справедливо правило: надо удерживать столько значащих цифр, чтобы погрешность округления была существенно меньше всех остальных погрешностей.