6. Факторизованные схемы.

В «больших задачах», где небольшое нарушение условия устойчивости любого из разностных уравнений в ходе расчета легко приводит к «авостам» ЭВМ, целесообразно использовать безусловно устойчивые многомерные экономичные схемы, несмотря на то что они сложнее явных схем.

Для гиперболических уравнений локально-одномерные схемы имеют сравнительно громоздкий и искусственный вид. Более удобны в данном случае факторизованные схемы (схемы с расщеплением); рассмотрим их.

Исходная схема. Для многомерной задачи (35) рассмотрим аналог неявной схемы с весами (12), который будем называть исходной схемой:

операторы — трехточечные и вычисляются по формуле (16). Эта схема симметрична по пространству и времени, поэтому легко видеть, что она имеет аппроксимацию при любых значениях веса . Методом разделения переменных можно показать, что при схема (40) безусловно устойчива.

Однако исходная схема, которую можно переписать в виде

содержит на верхнем слое выражение

Оператору В, встречавшемуся (почти в той же форме) в схеме (11.68) для многомерного уравнения теплопроводности, соответствует ленточная матрица типа, изображенного на рис. 89 (гл. XII, § 2, п. 3). Решение линейной системы (41) не сводится к одномерным прогонкам, и оператор В оказывается труднообратимым. Поэтому исходная схема (40) неэкономична.

Факторизованная схема. Оператор (42) можно приближенно заменить факторизованным оператором

т. е. приближенно расщепить В на произведение одномерных операторов. Заметим, что перестановочности операторов для этого не требуется.

Заменяя в исходной схеме (41) оператор В на С, получим факторизованную схему:

отличающуюся от исходной. Исследуем ее.

Аппроксимация. Преобразуя факторизованную схему (44) к форме типа (40) и учитывая соотношение (43), получим

что отличается от схемы (40) на члены . Поскольку исходная схема (40) имеет второй порядок аппроксимации, то факторизованная схема (44) также имеет аппроксимацию Устойчивость исследуем методом разделения переменных, подставляя в (44) многомерную гармонику (37). С учетом соотношения (38) получим для множителя роста квадратное уравнение

Уравнение (45а) аналогично уравнению (22а); поэтому оба его корня не превышают единицы по модулю только в том случае, если выполняются неравенства (23):

Первое из этих неравенств для коэффициентов (456) всегда справедливо. Второе неравенство заменим несколько более жестким требованием нетрудно проверить, что оно выполняется при

Это и есть достаточное условие устойчивости схемы (44). В частности, если , то условие (46) выполняется при любых шагах и схема является безусловно устойчивой.

Безусловная сходимость факторизованной схемы (44) со скоростью при следует из сказанного выше.

Вычисление разностного решения сводится к последовательности одномерных прогонок по всем направлениям . В самом деле, факторизованный оператор С есть произведение одномерных трехточечных операторов а каждый такой оператор обращается одномерной прогонкой. Тем самым, схема (44) экономична.

Таким образом, для многомерных задач акустики факторизацией удается построить безусловно устойчивые экономичные схемы, сходящиеся со скоростью