4. Методы составления схем.

Есть три основных способа составления разностных схем на заданном шаблоне: метод разностной аппроксимации, интегро-интерполяционный метод и метод неопределенных коэффициентов.

Метод разностной аппроксимации заключается в том, что каждая производная, входящая в дифференциальное уравнение и краевые условия, заменяется каким-либо разностным выражением (включающим только узлы шаблона).

Именно так были составлены схемы (16) и (18). Этот метод очень прост и в дополнительных пояснениях не нуждается.

Метод разностной аппроксимации позволяет легко составить схему первого или второго порядка аппроксимации на прямоугольной сетке для уравнений с непрерывными (и достаточно гладкими) коэффициентами. Однако этот метод трудно или даже невозможно применять в более сложных случаях: для уравнений с разрывными коэффициентами, на не прямоугольных сетках, для уравнений высокого порядка на неравномерных сетках и т. д.

Схемы повышенной точности в этом методе составляют, исследуя выражение невязки аналогично замечанию 3 в п. 3.

Интегро-интерполяционный метод, один из вариантов которого называется методом баланса, наиболее надежен и применим во всех случаях.

Рис. 52.

В этом методе после выбора шаблона область разбивают на ячейки, определенным образом связанные с шаблоном. Дифференциальное уравнение интегрируют по ячейке и по формулам векторного анализа приводят к интегральной форме, соответствующей физическому закону сохранения. Приближенно вычисляя полученные интегралы по каким-либо квадратурным формулам, составляют разностную схему.

Например, для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом выберем шаблон, изображенный на рис. 52 (см. также рис. 47, а), и сопоставим ему ячейку, показанную пунктиром. Обозначая средние точки интервалов сетки полуцелыми индексами, выполним интегрирование по ячейке:

Это соотношение является точным. В правой части приближенно вычислим первый интеграл по формуле средних, а второй по формуле правых прямоугольников. Получим следующее выражение:

Заменяя в правой части производные разностями и учитывая, что на равномерной сетке , получим разностную схему

Если k = const, то схема совпадает с неявной схемой (16).

Интегро-интерполяционный метод особенно полезен для уравнений с негладкими или разрывными коэффициентами, поскольку именно интегральная запись законов сохранения выделяет из всех математически допустимых решений таких уравнений физически правильное обобщенное решение.

Метод неопределенных «коэффициентов заключается в том, что в качестве разностной схемы берут линейную комбинацию значений разностного решения в узлах шаблона. Коэффициенты этой линейной комбинации определяют из условия, чтобы невязка схемы имела как можно более высокий порядок малости относительно h.

Например, для уравнения на шаблоне рис. 52 будем искать разностную схему в следующем виде:

Подставим сюда разложения (24), ограничиваясь для простоты членами и вычтем схему (28) из исходного уравнения. Получим невязку (индекс всюду опускаем)

Чтобы сократились выписанные здесь члены, надо положить ,

Отсюда находим коэффициенты:

Подставляя их в (28), получим разностную схему (16).

Метод неопределенных коэффициентов применим на косоугольных сетках. Например, при его помощи нетрудно составить пятиточечную схему для уравнения на треугольной сетке с шаблоном рис. 53:

Возможны случаи, когда часть коэффициентов схемы типа (28) определяют из условия наивысшего порядка малости невязки, а часть коэффициентов выбирают из других соображений.

Метод неопределенных коэффициентов (как и метод разностной аппроксимации) применим к уравнениям с непрерывными и достаточное число раз дифференцируемыми коэффициентами и решениями. Из-за сравнительной громоздкости он применяется реже двух ранее описанных методов.

Краевые условия. Остановимся на записи разностной схемы в нерегулярных узлах (на границе или вблизи нее). В этих узлах для записи разностных уравнений необходимо привлекать краевые условия.

Например, в разностных схемах (16) и (18) для уравнения теплопроводности нерегулярными являются граничные узлы . Для первой краевой задачи

в этих узлах нетрудно написать разностные уравнения (17):

которые являются точными (их невязка равна нулю).

Рис. 53.

Более сложен случай второй краевой задачи для того же уравнения (дальше будем рассматривать только левое условие):

Можно аппроксимировать производную односторонней разностью:

Однако невязка этого разностного уравнения равна

т. е. имеет меньший порядок малости, чем невязка (25) в регулярных узлах. Это приводит к понижению общей точности расчета.

Рассмотрим способы написания разностного краевого условия нормальной точности . Сделаем это на примере явной схемы

Способ фиктивных точек очень нагляден. Введем вне отрезка фиктивную точку и будем считать исходное уравнение справедливым при

Тогда разностное уравнение (18) можно написать при

Заменим в левом краевом условии (30) производную симметричной разностью:

Исключая из последних двух уравнений фиктивную точку, получим разностный аналог краевого условия:

Заметим, что это уравнение содержит только одно значение с нового слоя , т. е. оно явное.

Метод уменьшения невязки менее нагляден, но более универсален. Выразим и при помощи формулы Тейлора:

На основании краевого условия (30) положим , а из уравнения теплопроводности (15а) найдем . Подставляя эти величины в формулу Тейлора, получим

Заменяя здесь снова придем к краевому условию (33).

В последнем способе можно учесть большее число членов ряда Тейлора и получить краевые условия не только нормальной, но и повышенной точности.