6. Регуляризация дифференцирования.

При численном дифференцировании приходится вычитать друг из друга близкие значения функции. Это приводит к уничтожению первых значащих цифр, т. е. к потере части достоверных знаков числа. Если значения функции известны с малой точностью, то встает естественный вопрос — останется ли в ответе хоть один достоверный знак?

Для ответа на этот вопрос исследуем ошибки при численном дифференцировании. При интерполировании обобщенным многочленом производная k-гo порядка определяется согласно (2)-(3) формулой типа

Если формула имеет порядок точности , то, значит, ее остаточный член равен . Этот остаточный член определяет погрешность метода, и он неограниченно убывает при . Его зависимость от шага изображена на рис. 15 жирной линией.

Но есть еще неустранимая погрешность, связанная с погрешностью функции Поскольку точный вид этой погрешности неизвестен, можно оценить только мажоранту неустранимой погрешности она неограниченно возрастает при (тонкая линия на рис. 15). Фактически же неустранимая погрешность будет нерегулярно зависеть от величины шага, беспорядочно осциллируя в границах, определяемых мажорантой (точки на рис. 15).

Пока шаг достаточно велик, при его убывании неустранимая погрешность мала по сравнению с погрешностью метода; поэтому полная погрешность убывает. При дальнейшем уменьшении шага неустранимая погрешность становится заметной, что проявляется в не вполне регулярной зависимости результатов вычислений от величины шага. Наконец, при достаточно малом шаге неустранимая погрешность становится преобладающей, и при дальнейшем уменьшении шага результат вычислений становится все менее достоверным.

Полная погрешность мажорируется суммой (штриховая кривая на рисунке). Оптимальным будет шаг, соответствующий минимуму этой Кривой. Нетрудно подсчитать, что

Меньший шаг невыгоден, а меньшая погрешность, вообще говоря, недостижима (хотя отдельные вычисления случайно окажутся более точными, но мы этого не сможем узнать). Эта минимальная ошибка тем меньше, чем меньше погрешность входных данных и порядок вычисляемой производной и чем выше порядок точности формулы.

Очевидно, при можно получить сколь угодно высокую точность результата, если шаг стремится к нулю, будучи всегда не менее . Но если допустить , то результат предельного перехода может быть неправильным.

Эта тонкость связана с некорректностью задачи дифференцирования. Рассмотрим погрешность входных данных вида . Она приводит к погрешности первой производной . При погрешность функции в неограниченно убывает, а погрешность производной в той же норме неограниченно растет. Значит, нет непрерывной зависимости производной от функции, т. е. дифференцирование некорректно. Особенно сильно это сказывается при нахождении производных высокого порядка.

Изложенный выше способ определения оптимального шага и запрещение вести расчет шагом меньше оптимального есть некоторый способ регуляризации дифференцирования, так называемая регуляризация по шагу. Этот способ в простейшей форме давно применялся физиками, которые при однократном численном дифференцировании всегда выбирали такой шаг, чтобы .

К этой задаче применим и метод регуляризации А. Н. Тихонова; он будет изложен в главе XIV, § 2.

Физики издавна употребляют (без строгого обоснования) еще один способ регуляризации — дифференцирование предварительно сглаженной кривой, причем сглаживание обычно выполняют методом наименьших квадратов. Роль параметра регуляризации здесь играет отношение числа свободных параметров аппроксимирующей кривой к числу узлов сетки для хорошего сглаживания должно выполняться условие

Рассмотрим, как это делается в простейшем случае. Выберем около искомой точки не очень большой интервал изменения аргумента, чтобы двучленная аппроксимация у обеспечивала удовлетворительную точность. Но этот интервал должен содержать довольно много узлов сетки, т. е. быть не слишком малым.

Система уравнений (2.43) для определения коэффициентов среднеквадратичной аппроксимации принимает следующий вид:

где сумма берется по узлам сетки лежащим в этом интервале. Введем на этом интервале средние значения

Тогда первое уравнение (25) можно записать в виде (см. задачу 8 к главе II). Умножая его на вычитая из второго уравнения (25), получим

Пользуясь определением средних (26), произведем несложное преобразование знаменателя в (27):

и аналогично преобразуем числитель.

Тогда выражение (27) приводится к виду, напоминающему коэффициент парной корреляции величин х и у:

Последняя формула несколько выгодней для численных расчетов, чем предыдущая, ибо ошибки округления в ней меньше.

Двучленная среднеквадратичная аппроксимация дает удовлетворительные результаты, только если где — погрешности отдельных значений функции, N — число точек в выбранном участке, а А — нелинейная часть приращения функции на данном участке. Если это соотношение нарушено, то надо строить сглаживающие аппроксимации с 3—4 членами и дифференцировать их.

В заключение отметим, что выравнивающие переменные позволяют вести расчет крупным шагом или с малым числом свободных параметров. Поэтому предварительное приведение к выравнивающим переменным существенно ослабляет влияние погрешности Начальных данных и позволяет теми же способами регуляризации Добиться большей точности.