§ 3. Равномерное приближение

1. Наилучшие приближения.

Поскольку чебышевская норма сильнее нормы то принято считать, что равномерная аппроксимация лучше аппроксимации в среднем. Поэтому поиску равномерных и особенно наилучших равномерных приближений, определяемых условием

где минимум ищется на множестве функций посвящено много работ. В частности, получены следующие результаты (доказательства большинства из них приведены в учебнике И. С. Березина и Н. П. Жидкова [4]).

а) Если выбрана линейная аппроксимация (37) с чебышевской системой функций то равномерное наилучшее приближение единственно Доказательство существования наилучшего приближения для этого случая было приведено в § 2, п. 1.

б) Чтобы обобщенный многочлен по чебышевской системе функций был наилучшим равномерным приближением к на , необходимо и достаточно, чтобы на этом отрезке нашлось не менее таких точек, в которых погрешность попеременно принимает значения Следовательно, погрешность имеет на не менее нулей, как и у многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения. Впервые этот результат был получен П. Л. Чебышевым в 1859 г. для алгебраических многочленов.

в) Для функции у(х), имеющей непрерывных производных, причем удовлетворяет условию Липшица с константой , Д. Джексоном в 1911 г. получены некоторые оценки скорости сходимости наилучших равномерных приближений. При аппроксимации алгебраическим многочленом степени на отрезке

а при аппроксимации периодической функции с периодом тригонометрическим многочленом такой же степени:

где — универсальная константа . С. Н. Бернштейн доказал, что из сходимости приближений со скоростью следует наличие у функции ограниченной -й производной, поэтому оценки Джексона почти неулучшаемы.

Таким образом, эти приближения для достаточно гладких функций быстро сходятся при а для липшиц-непрерывных, но не гладких функций следует полагать т. е. для них приближения сходятся медленно. Для произвольной функции, неарёрывной на конечном отрезке axsb, равномерные приближения алгебраическими и тригонометрическими многочленами также сходятся (теорема, доказанная К. Вейерштрассом в но скорость сходимости, как показал С. Н. Бернштейн в 1938 г., может быть сколь угодно малой. Именно, как бы медленно ни убывали члены монотонной последовательности всегда найдется такая непрерывная функция ), для которой

Соответствующая оценка Джексона для алгебраической аппроксимации произвольной функции, непрерывной при (и тем самым равномерно-непрерывной), есть

а для тригонометрической аппроксимации непрерывной функции с периодом

где — модуль непрерывности функции.

Наилучшее равномерное приближение рациональной функцией (отношением многочленов) имеет такой же порядок точности, как в оценках где под надо подразумевать полное число свободных коэффициентов, которое на единицу меньше суммарной степени числителя и знаменателя.

г) Многочлены наилучшего равномерного приближения не обеспечивают хорошей сходимости (а иногда и просто сходимости) производных Если нужна сходимость производных, то приходится строить другие многочлены, которые имеют меньшую скорость сходимости Например, многочлены С. Н. Бернштейна

(57)

равномерно сходятся к любой непрерывной функции у но не быстрее чем сколь бы гладкой функция ни была; зато если существует непрерывная производная то производные многочленов С. Н. Бернштейна равномерно сходятся к ней на указанном отрезке при

д) Наибольший практический интерес представляет соотношение между точностями, достигаемыми при наилучшей равномерной и наилучшей среднеквадратичной аппроксимациях. Пусть для произвольной функции с периодом тригонометрический многочлен наилучшего равномерного приближения есть Доказано (см. монографию В. Л. Гончарова [9], стр. 186), что тригонометрический многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения той же степени имеет погрешность не более:

Сходные оценки существуют и для наилучших аппроксимаций алгебраическими многочленами на отрезке — . Из неравенства (58) следует, что при небольших погрешность многочленов наилучшего среднеквадратичного приближениядаже в - Цене сильно превосходит погрешность многочленов наилучшего равномерного приближения (например, при 12 не более чем в 7 раз).

Из оценок следует, что для функций с непрерывными старшими производными, не слишком большими по абсолютной величине, наилучшие равномерные приближения обеспечивают высокую точность уже при небольших . Значит, для таких функций наилучшие среднеквадратичные приближения будут обеспечивать в почти ту же точность, что и наилучшие равномерные приближения.

Только для недостаточно гладких функций среднеквадратичные приближения не сходятся или плохо сходятся в но в этом случае и наилучшие равномерные приближения сходятся настолько медленно, что практически их трудно использовать.

Описанные в § 2 алгоритмы нахождения наилучших среднеквадратичных приближений намного проще, чем известные алгоритмы нахождения наилучших равномерных приближений. По всем указанным причинам на практике много удобнее искать наилучшие среднеквадратичные, а не равномерные приближения; как отмечалось в § 2, для улучшения их сходимости следует явно выделять в простой форме основные особенности функции и ее младших производных и аппроксимировать оставшуюся достаточно гладкую часть. К нахождению равномерных приближений прибегают в основном при разработке алгоритмов для стандартных программ вычисления функций, когда добиваются очень высокой точности при минимальном числе членов суммы.