3. Невязка.

Рассмотрим операторное уравнение общего вида (не обязательно линейное):

(21)

Заменяя оператор А разностным оператором , правую часть — некоторой сеточной функцией а точное решение и — разностным решением у, запишем разностную схему:

Если подставить точное решение и в соотношение (22), то решение, вообще говоря, не будет удовлетворять этому соотношению: . Величину

называют невязкой.

Невязку обычно оценивают при помощи разложения в ряд Тейлора. Например, найдем невязку явной разностной схемы (18) для уравнения теплопроводности (15а). Запишем это уравнение в каноническом виде:

Поскольку в данном случае , то

Разложим решение по формуле Тейлора около узла предполагая существование непрерывных четвертых производных по и вторых по

где

Подставляя эти разложения в выражение невязки и пренебрегая, в силу непрерывности производных, отличием величин от найдем

Таким образом, невязка (25) стремится к нулю при

Выражение (25) дает невязку только в регулярных узлах схемы (18). Сравнивая (17) и (156), легко получим невязку в нерегулярных узлах

Замечание 1. Решение задачи теплопроводности с постоянным коэффициентом (15) в области непрерывно дифференцируемо бесконечное число раз. Однако учет пятых и более высоких производных в разложениях (24) прибавляет к невязке (25) только члены более высокого порядка малости по и h, т. е., по существу, не меняет вида невязки.

Замечание 2. Пусть по каким-либо причинам решение исходной задачи дифференцируемо небольшое число раз; например, в задачах с переменным коэффициентом теплопроводности, гладким, но не имеющим второй производной, решение имеет лишь третьи непрерывные производные. Тогда в разложении (24) последними будут члены не точно компенсирующие друг друга. Это приведет к появлению в невязке (25) члена типа , т. е. невязка будет иметь меньший порядок малости, чем для четырежды непрерывно дифференцируемых решений.

Замечание 3. Преобразуем выражение невязки с учетом того, что входящая в него функция и есть точное решение исходцого уравнения и для нее выполняются соотношения

Подставляя это выражение в (25), получим

Если выбрать шаги по пространству и времени так, чтобы то главный член невязки обратится в нуль и останутся только члены более высокого порядка малости по (которые мы опускали).

Этот прием применяется при построении разностных схем повышенной точности.