ГЛАВА IV. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

В главе IV изложены основные методы численного интегрирования. В § 1 выведены формулы вычисления однократных интегралов, основанные на полиномиальной аппроксимации подынтегральной функции: простейшие формулы трапеций и средних и некоторые формулы более высокой точности, в том числе формулы наивысшей алгебраической точности (Гаусса—Кристоффеля и Маркова). Исследованы погрешности этих формул и характер их сходимости. В § 2 рассмотрены способы интегрирования функций, для которых полиномиальная аппроксимация не обеспечивает приемлемой точности. В § 3 описанные методы перенесены на случай кратных интегралов. В § 4 изложены основы метода Монте-Карло применительно к вычислению интегралов.

§ 1. Полиномиальная аппроксимация

1. Постановка задачи.

Пусть требуется найти определенный интеграл

где функция непрерывна на отрезке , а весовая функция непрерывна на интервале . Выразить интеграл через элементарные функции удается редко, а компактный и удобный для доведения до числа ответ получается еще реже. Поэтому обычно заменяют на такую аппроксимирующую функцию чтобы интеграл от нее легко вычислялся в элементарных функциях.

Чаще всего заменяют некоторым обобщенным интерполяционным многочленом. Поскольку такая аппроксимация линейна относительно параметров, то функция при этом заменяется некоторым линейным выражением, коэффициентами которого служат значения функции в узлах:

где — остаточный член аппроксимации.

Подставляя (2) в (1), получим формулу численного интегрирования (квадратурную формулу)

где величины называют узлами, — весами, a R — погрешностью или остаточным членом формулы. Интеграл приближенно заменяется суммой, похожей на интегральную сумму, причем узлы и коэффициенты этой суммы не зависят от функции f(х). Интерполяционный многочлен (2) может быть не только лагранжева, но и эрмитова типа; в последнем случае в сумму (3) войдут производные функции в узлах.

Рис. 16.

Лучше всего изучена замена f(x) алгебраическим многочленом; она рассматривается в этом параграфе. Обычно будем полагать . Случаи не единичного веса будут особо оговариваться.