4. Ложная сходимость.

На практике для нелинейных уравнений и схем редко удается строго доказать сходимость; например, сходимость разностных схем для уравнений газодинамики не доказана. Поэтому зачастую пользуются следующими соображениями. Проверим локальную аппроксимацию схемы и затем на численных расчетах со сгущением сеток убедимся, что разностное решение при сходится к какой-то предельной функции. Поскольку нет расходимости, то расчет устойчив, а из устойчивости и аппроксимации следует сходимость к решению исходной задачи.

Эти рассуждения справедливы, если точное, решение достаточно гладко. Если же решение имеет сильные или слабые разрывы, то локальной аппроксимации в точках разрыва нет и предыдущие рассуждения могут привести к неверному результату.

Пример. Приведем разностную схему, которая сходится, но не к точному решению.

Возьмем схему (53) для уравнения с псевдовязкостью (50) и тем самым для квазилинейного уравнения переноса (44); положим в ней , т. е. выбросим псевдовязкость. Тогда схема примет вид

напоминающий явную схему (9) для линейного уравнения переноса. Проведем по схеме (59) расчет движения сильного разрыва (47). Пусть начальные данные таковы, что

Выберем шаг по времени . Подставляя (60) в (59), нетрудно убедиться, что на следующем слое разностное решение будет равно

Это значит, что разрыв продвинулся за один временной шаг ровно на один интервал сетки и сохранил свою форму. Очевидно, так же он будет двигаться и на всех других шагах по времени.

Таким образом, в этом расчете сильный разрыв будет двигаться без сглаживания, точно сохраняя форму, но с неправильной скоростью

Значит, при разностное решение (60)-(61) сходится к предельной функции

которая отлична от точного решения (47).

Таким образом, для задач с разрывными или недостаточно гладкими решениями (а также при разрывных или недостаточно гладких коэффициентах уравнения) визуально наблюдаемая сходимость разностного решения к пределу при может оказаться ложной.

Рис. 74.