§ 2. Многомерное уравнение

1. Экономичные схемы.

Для уравнения переноса хорошие одномерные схемы — схемы бегущего счета — естественно обобщались на случай многих измерений. Однако попытка обобщить на случай многих измерений хорошие одномерные схемы расчета теплопроводности неявные схемы типа (6) и (34) — наталкивается на принципиальные трудности.

Рассмотрим их на примере двумерного уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом, для которого задана первая краевая задача в прямоугольной области:

Введем прямоугольную сетку (рис. 81), причем для простоты шаги по каждой переменной выберем постоянными. Возьмем изображенный на рис. 82 шаблон, имеющий на каждом слое форму креста, и составим на нем неявную двуслойную схему с весами, являющуюся обобщением схемы (6) на двумерный случай:

где

Разностная запись первого краевого условия сводится к заданию решения в граничных узлах сетки, т. е. при

Рис. 81.

Рис. 82.

Легко проверить, что погрешность аппроксимации этой схемы на решениях с непрерывными четвертыми производными равна , где при при методом разделения переменных, подставляя гармоники и определяя их множители роста можно получить условие устойчивости схемы (56) в

(58)

похожее на одномерное условие (14). При выполнении условия устойчивости (58) схема (56) среднеквадратично сходится с точностью

Нетрудно написать обобщение схемы (56) и условия устойчивости (58) на любое число измерений . Оценим число действий, требующихся для выполнения расчета до момента времени Т по такой схеме в случае измерений.

При схема (56) становится явной и значение непосредственно вычисляется по значениям с предыдущего слоя. Поэтому общее число действий для перехода со слоя на слой пропорционально числу узлов сетки; оно если число узлов по каждой пространственной переменной равно N. Но явная схема устойчива только при

Значит, для расчета до момента времени Т надо сделать шагов по времени и полный расчет потребует действий.

Если вести расчет по абсолютно устойчивому варианту схемы то можно брать Но тогда на каждом слое надо решать линейную систему уравнений. Даже с учетом того, что ее матрица ленточная с шириной ленты решение этой системы методом Гаусса требует действий. Поскольку для расчета до момента Т теперь надо делать N шагов по времени, то полный расчет требует действий.

Значит, для двумерной задачи неявная схема (56) и явная схема приводят примерно к одинаковому объему вычислений, а в § 1 мы видели, что явная схема обладает плохими свойствами и невыгодна для расчетов. При неявная схема (56) даже невыгодней явной.

Однако для многомерного параболического уравнения построены абсолютно устойчивые схемы, позволяющие вести расчет шагом и требующие только действий для перехода со слоя на слой (т. е. число действий в расчете на одну точку сетки не зависит от шагов ). Такие схемы называются экономичными. Подавляющее большинство многомерных расчетов проводится по таким схемам. В следующих пунктах мы рассмотрим два основных вида экономичных схем для параболического уравнения — продольно-поперечную и локально-одномерную схемы.

Рис. 83.