4. Метод малого параметра.

Достаточно простыми оказываются вычисления методом малого параметра, предложенным Пуанкаре в 1892 г. Пусть правая часть уравнения зависит от параметра и известно частное решение при некотором значении параметра Будем искать решение в виде ряда

Подставляя этот ряд в исходное уравнение и разлагая по формуле Тейлора по степеням , получим для определения линейные уравнения

Здесь коэффициенты выражаются через производные при , а функции выражаются через Тем самым нахождение сводится к квадратурам. Достаточным условием сходимости ряда (11) является аналитичность по всем аргументам.

При практическом применении метода малого параметра специально вводят в правую часть уравнения (7) параметр так, чтобы, при некотором его значении легко находилось частное решение; после этого действуют по описанной схеме. Например, для уравнения (3) можно прибавить к правой части член положив, таким образом, тогда при сразу видно частное решение , где постоянная с определяется из начального условия.

Метод малого параметра естественно переносится на уравнения высоких порядков или на системы уравнений.

При этом вместо цепочки последовательно решаемых линейных уравнений (12) возникают цепочки систем линейных дифференциальных уравнений. Однако все выкладки становятся существенно более громоздкими.