ГЛАВА XII. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Глава XII посвящена методам решения краевых задач для эллиптических уравнений. В § 1 решение таких задач сводится к решению эволюционных задач для параболических уравнений до выхода на стационарный режим; последнее выполняется при помощи многомерных разностных схем, изложенных в гл. XI, § 2. Обсужден выбор оптимального шага по времени (или набора переменных шагов) в таких расчетах.

В § 2 рассмотрены вариационные методы решения эллиптических уравнений и вариационные способы составления стационарных (не эволюционных) разностных схем. В последнем случае указаны прямые и итерационные методы вычисления разностного решения.

§ 1. Счет на установление

1. Стационарные решения эволюционных задач.

К эллипти ческим уравнениям приводит ряд физических задач: определение прогиба нагруженной мембраны, давления газа в неоднородном силовом поле, стационарного (не зависящего от времени) распределения тепла в теле и т. д. Все эти задачи имеют общее свойство: предполагается, что внешние воздействия не зависят от времени, а начальные условия были заданы достаточно давно, так что физическая система успела выйти на стационарное решение , не зависящее от времени.

Примером полной математической постановки является задача с краевыми условиями первого рода, называемая задачей Дирихле; требуется найти непрерывное решение задачи

где есть многомерная замкнутая область с границей Г. В отличие от эволюционных задач, разобранных в предыдущих главах, постановка (1) не содержит начальных условий. Обобщением задачи (1) является следующая задача:

Задачи с другими краевыми условиями мы не будем рассматривать.

Задачу (2) будем называть стационарной. Наряду с ней рассмотрим эволюционную задачу для параболического уравнения с теми же граничными условиями и произвольно выбранными начальными данными:

Исследуем, насколько решение эволюционной задачи отличается от решения стационарной задачи. Вычитая (2) из (3) и учитывая, что найдем, что разность удовлетворяет однородному параболическому уравнению с однородными краевыми условиями:

Поскольку начальные данные в (3) были выбраны произвольно, то без ограничения общности можно считать, что начальные данные задачи (4) также выбраны произвольно.

В курсах математической физики показано (см., например, [40]), что при помощи метода разделения переменных решение задачи (4) можно представить в следующем виде:

Здесь и — собственные функции и собственные значения многомерной задачи Штурма—Лиувилля:

а

являются коэффициентами Фурье начальных данных (4) по системе функций . Собственные значения задачи (6) положительны и образуют неубывающую последовательность

а собственные функции образуют полную ортонормированную систему в .

Из (5) и (7) нетрудно получить неравенство

Оно означает, что разность при экспоненциально стремится к нулю по норме так что решение эволюционной задачи (3) среднеквадратично сходится к решению стационарной задачи (2) при .

Замечание 1. Пусть граничные и начальные условия таковы, что решения задач (2) и (3) имеют в непрерывные производные, ограниченные равномерно по t. Тогда сходимость к будет равномерной.

Таким образом, вместо задачи (2) для эллиптического уравнения можно взять эволюционную задачу (3) для параболического уравнения с тем же пространственным оператором, произ; вольно выбрать начальные данные и вычислить решение при достаточно большом t. Стационарный (не зависящий от времени) предел , к которому стремится при и будет решением стационарной задачи (2).

Этот способ называется счетом на установление. Он позволяет осуществить численное решение эллиптических задач хорошо разработанными методами решения параболических задач, например, продольно-поперечной схемой для двумерных задач и локально-одномерными схемами в случае большего числа измерений.

Установление стационарного решения происходит довольно быстро благодаря экспоненциальному характеру затухания начальных данных. Из (8) видно, что если нужна точность , то надо вести вычисления до момента

где есть наименьшее собственное значение соответствующей задачи Штурма — Лиувилля (6).

Замечание 2. На стационарное решение выходят не только решения параболических задач. То же происходит при других диссипативных процессах со стационарными граничными условиями, например при колебаниях с вязким трением, описываемых уравнением

Можно формулировать эволюционную задачу для этого уравнения; однако это менее удобно.

Замечание 3. Можно составить разностную схему, непосредственно аппроксимирующую исходную задачу (2).

Но мы увидим, что вычислять разностное решение при этом обычно приходится итерационными методами. Оказывается, что соответствующие итерационные алгоритмы можно интерпретировать как некоторые разностные схемы для эволюционной задачи (3).