4. Метод наименьших квадратов.

Если вещественные функции заданы таблично, т. е. на конечном множестве точек, то их скалярное произведение определяется формулой

где N — полное число узлов таблицы. Тогда условие наилучшего среднеквадратичного приближения примет вид

Выберем линейную аппроксимацию

с числом членов Тогда коэффициенты аппроксимации находятся из уравнений (38), где скалярные произведения надо брать согласно (41); эти уравнения можно получить и непосредственно, подставляя обобщенный многочлен в (42) и приравнивая нулю производные по коэффициентам. Описанный способ нахождения аппроксимации называется методом наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов широко используют для обработки экспериментальных кривых, точки которых измерены с заметной погрешностью е. В этом случае весу придают смысл точности измерения данной точки: чем выше точность, тем большее значение веса приписывают точке Аппроксимирующая кривая будет проходить ближе к точкам с большим весом. Сходные соображения используют в математической постановке задачи: выбирают весовую функцию большой при тех значениях аргумента, где нужно получить более высокую локальную точность аппроксимации.

Рис. 13.

Если число коэффициентов аппроксимации взять равным числу узлов N, то среднеквадратичная аппроксимация совпадет с лагранжевой интерполяцией. Очевидно, при наличии значительных ошибок эксперимента интерполяция неразумна. Это хорошо видно из рис. 13, показывающего описание измерений радиоактивного распада в выравнивающих переменных интерполяционным многочленом (пунктир) и прямой, найденной методом наименьших квадратов. Поскольку при среднеквадратичная аппроксимация близка к интерполяции, то хорошее сглаживание ошибок эксперимента будет при но если слишком мало, то для описания сложной кривой коэффициентов может не хватить. Должно существовать какое-то оптимальное число коэффициентов; оно зависит от функции числа узлов N, их расположения, весов и от выбранной системы

Оптимальное число коэффициентов определяют следующим образом. Выбирают некоторое , находят из условия (42) соответствующие коэффициенты , вычисляют полученное при этом среднеквадратичное уклонение и сравнивают его с известной погрешностью эксперимента.

Если т. е. математическая погрешность аппроксимации много больше физической погрешности исходных данных, то число коэффициентов недостаточно для описания и надо увеличить . Если , то старшие коэффициенты аппроксимации физически недостоверны, и надо уменьшить n. Если то число коэффициентов оптимально.

Обычно начинают расчет с когда наверняка и увеличивают число коэффициентов до тех пор, пока не выполнится условие Если при этом то вид аппроксимирующей функции выбран удачно. Если же то следует поискать более подходящий вид аппроксимирующей функции.

Описанная процедура напоминает регуляризацию суммирования ряда Фурье по числу членов. Сглаживать экспериментальные кривые можно и регуляризацией по А. Н. Тихонову (см. главу XIV, § 2); при таком сглаживании не требуется предположений о виде аппроксимирующей функции, но она успешно выполняется только при довольно большом числе узлов N. При очень малом N нахождение оптимального числа коэффициентов становится трудной задачей; требуется очень удачно подобрать вид а для определения достоверности результатов необходимо привлечь аппарат статистики (см. главу XV).

Отметим некоторые употребительные частные случаи метода наименьших квадратов.

Первый — полиномиальная аппроксимация, когда при Oksn. Система (38) принимает при этом вид

Поскольку степени на любом отрезке образуют чебышевскую систему, то определитель Грама отличен от нуля и задача (43) имеет единственное решение. Но система степеней не ортогональна, и при больших значениях задача (43) плохо обусловлена. Можно обойти эту трудность, строя и используя многочлены, ортогональные с заданным весом на заданной системе точек; но к этому прибегают только в задачах, связанных с особенно тщательной статистической обработкой эксперимента. Обычно же ограничиваются небольшими степенями когда обусловленность задачи (43) удовлетворительна.

Второй случай — типичная радиотехническая задача о тригонометрической аппроксимации периодического сигнала, измеренного через равные доли периода, т. е. на равномерной сетке где .

Вес в этом случае можно считать постоянным Система комплексных функций ортогональна с неединичной нормой на этой сетке; в самом деле, их скалярное произведение равно

Поэтому коэффициенты аппроксимации можно находить по формулам (39) при условии введения нормирующего множителя, что приводит к так называемым формулам Бесселя

Благодаря ортогональности системы функций эти формулы без потери точности можно использовать при больших и N (разумеется, . Особенно часто выбирают ибо тогда все коэффициенты очень просто вычисляются.

Третий случай — это несложное сглаживание экспериментальных таблиц, точки которых измерены со значительными ошибками. Возьмем несколько соседних точек, и в этом узком интервале построим среднеквадратичную аппроксимацию с одним-двумя параметрами. Центральной точке припишем то значение, которое дает аппроксимация. Для равноотстоящих точек и единичного веса это приводит к несложным формулам. Например, для трех точек при аппроксимации многочленом первой степени из (43) нетрудно получить

В радиотехнике этот способ сглаживания называют фильтром, ибо он ослабляет высокочастотные колебания, мало влияя на низкочастотные.

Все способы сглаживания надо применять осторожно, поскольку при этом можно исказить поведение функции.