4. Инварианты.

Рассмотрим запись системы уравнений акустики через инварианты:

Умножая первое из уравнений (18а) на с, прибавим его ко второму уравнению (18а) и вычтем. Получим систему уравнений, которым удовлетворяют инварианты:

Из соотношений (186) нетрудно получить для инвариантов начальные условия:

а из соотношений (18в) — краевые условия:

Видно, что инвариант удовлетворяет уравнению переноса вправо (т. е. с положительной скоростью), а инвариант — уравнению переноса влево. В случае однородной задачи величины , s переносятся по соответствующим характеристикам без изменения, с чем и связано их название.

Для инвариантов можно составить разностные схемы, аналогичные схемам бегущего счета для уравнения переноса. Шаблон каждой схемы должен учитывать направление характеристики соответствующего уравнения. Простейшей будет явная схема:

Она действительно является схемой бегущего счета, и организация вычислений здесь почти такая же, как для одномерного уравнения переноса. Нетрудно показать, что при выполнении условия эта схема устойчива, монотонна и равномерно сходится с порядком точности на дважды непрерывно дифференцируемых решениях.

Счет по неявным схемам типа уже не будет бегущим: для развязки счета надо знать граничное значение инварианта на новом слое, а оно выражается через то значение другого инварианта, которое считается последним. Поэтому для определения инвариантов получается линейная система с матрицей специального вида, схематически изображенного на рис. 95. Такая система решается методом исключения; экономные формулы исключения для этого случая называются формулами циклической прогонки (см. [83] и дополнение к [30]).

Схемы для инвариантов можно переписать в терминах исходных переменных. Так, складывая и вычитая уравнения (33), получим для внутренних точек области

Каждое из уравнений (34) содержит члены, соответствующие явной схеме (6) для уравнения теплопроводности с коэффициентом . Отсюда понятно, что исходная схема (33) будет хорошо сглаживать разрывы начальных данных, т. е. иметь аппроксимационную вязкость. Условие устойчивости явной схемы совпадает с условием устойчивости исходной схемы.

Рис. 95.

Схемы в инвариантах обладают многими достоинствами. Однако широкого распространения они не получили, потому что их нелегко обобщить на нелинейные задачи.