4. Неявная консервативная схема.

Есть ряд задач, в которых локальная скорость звука в некоторых участках много больше скорости наиболее важных физических процессов. В таких задачах условие Куранта слишком сильно ограничивает шаг и выгоднее использовать абсолютно устойчивые схемы.

Составим неявную схему. Припишем все сеточные величины целым слоям по времени и выберем шаблон, изображенный на рис. 100. Аппроксимируем консервативную систему (53)-(56а) следующими разностными уравнениями:

Это — консервативная схема. Первые два уравнения взяты чисто неявными для хорошего подавления «разболтки» счета. Уравнение энергии симметрично по времени; чисто неявным его брать невыгодно, поскольку при этом точность расчета заметно ухудшается.

Рис. 100.

Вычисление разностного решения здесь существенно сложней, чем для явной схемы (66). Аналогично задачам акустики (§ 1, п. 3, замечание 1) можно показать, что применять метод последовательных приближений для решения всей цепочки уравнений невыгодно: итерации сходятся при выполнении условия что лишает неявную схему всех ее преимуществ.

Поэтому систему (71) линеаризируют и, как в задачах акустики, преобразуют к форме, решаемой прогонкой. Рассмотрим ход решения в случае разных режимов газодинамических течений, для простоты ограничиваясь плоским случаем

Изотермический случай. Если температура вещества постоянна, то давление зависит только от плотности.

При этом уравнение энергии (56) становится излишним, поскольку система (53)-(55) при заданной зависимости полностью определяет решение. Соответственно в численном расчете следует ограничиться уравнениями .

Положим Подставляя это выражение в уравнение (71а) и линеаризируя это уравнение относительно приращений всех величин на новом слое, получим

Из уравнений (71 в) и (716) найдем вариации

Подставляя их в (72), получим для определения линейную систему с трехдиагональной матрицей:

решаемую прогонкой.

Пренебрегая пока вязкостью (т. е. полагая организуем вычисления следующим образом. Выберем в качестве нулевого приближения

Затем определим из уравнений (74) значения а по ним при помощи уравнений (71 в), (716) найдем

Это позволяет вычислить и выполнить следующую итерацию.

Сходимость итерационного процесса (74), (76) исследована в [34]. Этот процесс является ньютоновским; поэтому он сходится, если начальное приближение (75) недалеко отстоит от корня, т. е. если шаг не слишком велик. Это приводит к некоторому ограничению на однако, как показано в [34], такое ограничение несравненно слабее, чем условие Куранта. Имеются примеры успешных численных расчетов задач с тонкими слоями, в которых шаг в раз превышал значение, допускаемое локальным критерием Куранта (69).

Включение вязкости (71г) можно провести двумя способами. В первом способе линеаризация выполняется так, как описано выше, а к давлению добавляется вязкий член, взятый с предыдущей итерации:

Это означает, что вязкость включена в итерационный процесс методом последовательных приближений. Такой способ прост, но ухудшает сходимость итераций: уменьшает скорость сходимости и усиливает ограничение на шаг , хотя не слишком сильно.

Второй способ — полная линеаризация — сложнее, но надежнее. Линеаризируя уравнение (71а), учтем зависимость g не только от , но и непосредственно от v через вязкость (71 г):

При этом вместо (72) и (74) получаются более громоздкие выражения, которые мы не приводим. Однако такой процесс является чисто ньютоновским и хорошо сходится.

Неизотермический случай требует включения в итерационный процесс уравнения энергии (71 д), что часто делают способом двухкруговых итераций (последовательных прогонок).

Сначала считаем энергию (или температуру) известной во всех точках нового слоя. Тогда в каждой точке т. е. применимы формулы изотермического случая (74), (76); по ним проводят первый малый круг итераций.

Когда эти итерации сойдутся, полученные значения подставляют в уравнение энергии (71д). Неизвестными в нем остаются значения ; их можно определить, линеаризируя уравнение (71д) с учетом зависимости

Итерации (79) образуют второй малый круг. На каждой итерации трехточечное уравнение (79) решается прогонкой.

Найденные значения передают в уравнения (74), (76) и снова проводят первый малый круг итераций и т. д. Это взаимное согласование уравнений импульса и энергии составляет большой круг итераций.

Обычно считают нормальным, если малые круги сходятся за 3—5 итераций, а большой круг за 2—3. Большее число итераций указывает на целесообразность уменьшения шага т.

Замечание. Можно провести итерации в один круг, если полностью линеаризировать систему (71), считая . Однако при этом получаются существенно более громоздкие уравнения в вариациях, для решения которых надо применять матричную прогонку (см. дополнение к [30]).

Устойчивость. Методом разделения переменных в линейном приближении можно показать, что схема (71) безусловно устойчива. Таким образом, шаг ограничивает только условие сходимости итераций при решении нелинейной системы (71).

Аппроксимация и сходимость. Схема (71) не симметрична по t и поэтому даже на гладких течениях имеет аппроксимацию . Тем самым, на гладких течениях схема «крест» может оказаться более точной.

Однако при расчете течений с ударными волнами и другими особенностями неявная схема дает существенно лучшие результаты, чем схема «крест». Поэтому она широко применяется в практике вычислений, особенно в «больших задачах».

Сходимость схемы (71) строго не доказана, но многократно проверена на сложных задачах-тестах с известными точными решениями.