§ 2. Приближенный анализ

1. Понятие близости.

Если требуется определить некоторую величину у по известной величине х, то символически задачу можно записать в виде у = А(х). Здесь и у, и х могут быть числами, совокупностью чисел, функцией одного или нескольких переменных, набором функций и т.д.

Если оператор А настолько сложен, что решение не удается явно выписать или точно вычислить, то задачу решают приближенно.

Например, пусть надо вычислить Можно приближенно заменить многочленом или другой функцией, интеграл от которой легко вычислить. А можно заменить интеграл суммой вычислить которую тоже несложно. Таким образом, приближенный метод заключается в замене исходных данных на близкие данные и (или) замене оператора на близкий оператор А, так чтобы значение легко вычислялось. При этом мы ожидаем, что значение у будет близко к искомому решению.

Но что такое «близко»? Очевидно, для двух чисел надо требовать малости а близость двух функций можно определить разными способами. Эти вопросы рассматриваются в функциональном анализе, некоторые понятия которого будут сейчас изложены.

Множество элементов любой природы называется метрическим пространством, если в нем введено расстояние между любой парой элементов (метрит), удовлетворяющее следующим аксиомам:

а) — вещественное неотрицательное число,

б) , только если

в)

г)

Последовательность элементов метрического пространства называется сходящейся (по метрике) к элементу если при Последовательность называется фундаментальной, если для любого найдется такое что при всех

Метрическое пространство называют полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится к элементу того же пространства. Примером неполного пространства является множество рациональных чисел с метрикой . Последовательность ему принадлежит, является фундаментальной, а сходится к иррациональному числу , т.е. не к элементу данного пространства. Если переменные принадлежат неполным пространствам, то обосновать сходимость численных методов очень трудно: даже если удается доказать, что при последовательность фундаментальная, то отсюда еще не следует, что она сходится к элементу данного пространства, т. е. к решению допустимого класса.

Элементами наших множеств будут числа, векторы, матрицы, функции и т. п. Сами множества обычно являются линейными нормированными пространствами, ибо в них определены операции сложения элементов и умножения их на число и введена норма каждого элемента причем выполнены следующие аксиомы:

существует единственный элемент такой, что для любого (будем использовать для обозначение 0); для всякого существует единственный элемент — такой, что

единствен;

— вещественное число;

только при

Линейное нормированное пространство есть частный случай метрического пространства, а норма определяется метрикой. Полное линейное нормированное пространство называется банаховым. Практически всегда величины, с которыми мы будем оперировать, являются элементами банаховых пространств; это важно при доказательстве сходимости численных методов.

Рассмотрим некоторые примеры банаховых пространств, с которыми нам часто придётся встречаться. Выполнимость аксиом (3) и полноту читатели легко проверят сами.

а) Множество всех действительных чисел с нормой

б) Пространство С — множество функций определенных и непрерывных при с чебышевской нормой . Сходимость в этом пространстве называется равномерной. Условие здесь и в следующем примере принято для удобства; оно не является существенным, и можно определять функции на любом конечном отрезке.

Класс непрерывных функций часто еще сужают, накладывая на функции дополнительные требования: липшиц-непрерывности, однократной или многократной дифференцируемости и т. д. Напомним некоторые определения.

Функция называется равномерно-непрерывной на отрезке, если для сколь угодно малого найдется такое , что со для любой пары точек отрезка, удовлетворяющих условию Таким образом, устанавливается функциональная связь между . Величина называется модулем непрерывности функции. Функция, непрерывная во всех точках замкнутого отрезка является на этом отрезке ограниченной и равномерно-непрерывной (теорема Кантора); следовательно, пространство С — множество ограниченных и равномерно-непрерывных функций.

Если , где К — некоторая константа, то функцию называют липшиц-непрерывной. Нетрудно видеть, что если функция имеет ограниченную производную, то она липшиц-непрерывна, причем

в) Пространство — множество функций определенных при 1 и интегрируемых по модулю с степенью, если норма определена

Сходимость в такой норме называют сходимостью в среднем. Пространство называют гильбертовым, а сходимость в нем — среднеквадратичной.

Разницу между равномерной близостью и близостью в среднем иллюстрирует функция равномерно близка к функции а функций близка в среднем, т. е. мало отличается от на большей части отрезка, но может сильно отличаться от нее на небольших участках.

Рис. 1.

Выбирая метрические пространства, т. е. выбирая множества X, Y и определяя в них метрики, мы тем самым уславливаемся, в каких классах функций можно брать начальные данные и искать решение. Поэтому в конкретной задаче выбор пространств должен в первую очередь определяться физическим смыслом задачи, и лишь во вторую —чисто математическими соображениями (такими, например, как возможность доказать сходимость). Например, при расчете прочности самолета нужна равномерная близость приближенного решения к точному, а близости в среднем недостаточно: перенапряжение в маленьком участке может разрушить конструкцию. А в задаче о нагреве тела потоком тепла даже норма удовлетворительна, ибо температура тела определяется интегралом от потока по времени.

Нетрудно показать, что между разными нормами (если они существуют) выполняются определенные соотношения. Если функции определены при тогда

В самом деле, например:

Следовательно, из равномерной сходимости вытекает сходимость в среднем, в частности — среднеквадратичная. Поэтому чебышевскую норму называют более сильной, чем гильбертова.

г) Координатные бесконечномерные пространства, элементами которых являются счетные множества чисел По аналогии с пространствами функций, в них обычно вводят норму или

а само пространствр называют соответственно с или .

д) Конечномерные пространства №, элементами которых являются группы из чисел их можно считать координатами векторов в -мерном пространстве, называют евклидовым. Нормы векторов вводят по аналогии со случаем , например,

Для конечномерных векторов между разными нормами существуют соотношения

которые легко проверить. Поэтому из сходимости в одной из этих норм следует сходимость во всех остальных нормах. Нормы, обладающие таким свойством, называют эквивалентными.

Отметим, что если последовательность векторов не сходится, но сходится, то говорят о сходимости векторов по направлению.

е) В пространстве квадратных матриц порядка наиболее употребительны следующие нормы:

где — собственные значения эрмитовой матрицы АНА (здесь — матрица, эрмитово сопряженная по отношению к А).

Первые две нормы не имеют специальных названий, третья называется максимальной, четвертая — сферической или евклидовой и пятая — спектральной. Между ними выполняются некоторые соотношения, аналогичные (5).

Интересна связь нормами матриц и векторов, на которые матрицы действуют. Норма матрицы называется согласованной с нормой вектора, если Наименьшая из норм матрицы, согласованных с данной нормой вектора: называется нормой матрицы, подчиненной данной норме вектора.

Приведем пример подчиненной нормы. Из цепочки неравенств

следует, что согласована с Кроме того, для любой матрицы А существует такой вектор что неравенство (7) обращается в равенство. Для его нахождения положим знаки выберем так, чтобы они совпадали со знаками элементов той строки матрицы i, в которой максимальна.

Тогда именно сумма по этой строке будет максимальна в левой части (7), и неравенство превратится в равенство. Это означает, что есть наименьшая из норм, согласованных с если мы возьмем еще меньшую то при этом векторе для нее знак неравенства (7) будет обратным, т. е. она не будет согласованной. Следовательно, подчинена

Без доказательства укажем, что подчинена М, и спектральная норма подчинена Сферическая норма согласована с а максимальная норма согласована со всеми рассмотренными выше векторными нормами.