ГЛАВА XIII. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Глава XIII посвящена разностным схемам для уравнений в частных производных гиперболического типа. В § 1 рассмотрено гиперболическое уравнение второго порядка — волновое уравнение, которое можно заменить эквивалентной системой двух уравнений первого порядка. На примере одномерной задачи подробно разобраны явные и неявные разностные схемы решения уравнений. Дано обобщение этих схем на случай любого числа измерений.

В § 2 рассмотрены одномерные уравнения газодинамики, являющиеся гиперболической системой квазилинейных уравнений первого порядка. Построены две однородные разностные схемы («крест» и неявная консервативная схема), дающие хорошие результаты при решении многих прикладных задач. Приведен вид псевдовязкости, используемый, в этих схемах.

§ 1. Волновое уравнение

1. Схема «крест».

К гиперболическим уравнениям приводят задачи колебания струны, движения сжимаемого газа, распространения возмущений электромагнитных полей и многие другие.

Типичным примером одномерной задачи является задача малых колебаний натянутой струны с распределенной по длине нагрузкой

(это же уравнение описывает плоские акустические волны в газе при наличии внешнего силового поля ). Краевые условия первого рода (1в) соответствуют заданному закону движения концов струны; возможны и другие типы краевых условий.

Заметим, что, в отличие от параболической задачи (11.1), гиперболическая задача (1) требует постановки двух начальных условий: не только начального смещения от положения равновесия и, но и начальной скорости вещества

Составим несложную и эффективную разностную схему для задачи (1). Выберем по прямоугольную сетку, для простоты равномерную, и возьмем изображенный на рис. 91 шаблон.

Аппроксимируя прозводные разностями, получим трехслойную схему

с граничными условиями

По форме шаблона эту схему называют «крест». Исследуем ее.

Вычисление решения. На нулевом слое решение известно из начального условия

Рис. 91.

На первом слое решение также мойкно вычислить по начальным данным. Простейший способ состоит в том, что полагают

Более хорошие результаты дает использование следующего члена разложения:

выражение для в это соотношение надо подставить из уравнения (1а). Окончательно получим

где можно заменить второй разностью.

Схема (2а) явная и позволяет выразить через значения у с двух предыдущих слоев. Поэтому, начиная со второго слоя, разностное решение вычисляется по этой схеме.

Описанный алгоритм показывает, что, после того как выбрана одна из начальных формул (4а, б), разностное решение существует и единственно.

Аппроксимация. Разложим точное решение по формуле Тейлора с центром в узле предполагая наличие непрерывных четвертых производных:

Используя эти разложения, легко найдем невязку схемы (2а):

и невязку начального условия (4а):

или начального условия (46):

Начальное условие (3) и краевые условия (26) аппроксимируются точно.

Таким образом, схема (2)-(3) с начальным условием (46) имеет аппроксимацию Использование начального условия (4а) ухудшает аппроксимацию до .

Устойчивость исследуем методом разделения переменных, полагая в схеме (2а)

Для множителя роста гармоники получим квадратное уравнение

По теореме Виета произведение его корней Значит, условие устойчивости может быть выполнено, если . Для уравнения с действительными коэффициентами (8) это означает, что корни образуют комплексно сопряженную пару; для этого дискриминант уравнения не должен быть положительным:

Чтобы это неравенство выполнялось для любых гармоник, необходимо и достаточно соблюдение условия Куранта:

Таким образом, схема «крест» условно устойчива.

Замечание 1. Если , то для некоторых гармоник становится кратным корнем уравнения (8). Это приводит к слабой неустойчивости счета: амплитуда этих гармоник при растет, как

Поэтому в условии Куранта (9) стоит строгое неравенство.

Сходимость. Из сказанного выше следует, что схема (2) с начальными условиями (3), (46) при выполнении условия Куранта (9) сходится со скоростью

Из наших рассуждений вытекает сходимость схемы в но методом энергетических неравенств можно доказать, что сходимость равномерная.

Схема (2) обеспечивает хорошую точность расчета решений и имеющих непрерывные четвертые производные. Она позволяет рассчитывать менее гладкие и даже разрывные решения, хотя в последнем случае точность расчетов невелика и обычно возникает легкая «разболтка», связанная с немонотонностью схемы. Условие устойчивости (9) естественное, поскольку для получения хорошей точности тоже надо полагать Поэтому схему «крест» часто используют для практических расчетов.

Замечание 2. Схема (2) написана для случая постоянных шагов . Если шаги переменные, то надо заменить производные по пространству и времени соответствующими выражениями (3.2), которые обеспечивают локальную аппроксимацию только в случае квазиравномерных сеток по

Поэтому для трехслойных схем, в отличие от двуслойных, резкие смены шага в ходе расчета опасны: это может привести к ухудшению точности.

Замечание 3. Для задач с краевыми условиями первого рода удобно выбирать сетку так, чтобы узлы были концами отрезка [0, а]. Если же на одном из концов задано краевое условие второго рода

то целесообразно полагать чтобы граница была полуцелой точкой. Тогда естественное разностное краевое условие

обеспечивает аппроксимацию . Такой выбор сетки полезен и для других типов уравнений.