5. Метод Галеркина

(который для интегральных уравнений обычно называют методом моментов). Будем искать решение в виде разложения по полной системе функций

поскольку от и не надо специально требовать удовлетворения каким-либо краевым условиям, то от системы ничего, кроме полноты, требовать не надо.

Подставляя разложение (30) в неоднородное уравнение Фредгольма (6) и требуя ортогональности невязки ко всем функциям получим линейную алгебраическую систему уравнений для нахождения

В случае задачи на собственные значения (8) надо полагать в (30) и Метод применим и к нелинейному уравнению (1), но тогда он приводит к нелинейной алгебраической системе.

Основной трудностью, препятствующей применению метода моментов, является сложность вычисления двукратных интегралов, входящих в (31). Поэтому обычно ограничиваются малым числом членов суммы (30).

Замечание. Если система ортогональна, то метод моментов эквивалентен приближенной замене ядра на специальное вырожденное ядро: