5. Метод Галеркина
(который для
интегральных уравнений обычно называют
методом моментов). Будем искать решение в виде разложения по полной системе функций

поскольку от и
не надо специально требовать удовлетворения каким-либо краевым условиям, то от системы
ничего, кроме полноты, требовать не надо.
Подставляя разложение (30) в неоднородное уравнение Фредгольма (6) и требуя ортогональности невязки ко всем функциям
получим линейную алгебраическую систему уравнений для нахождения 

В случае задачи на собственные значения (8) надо полагать в (30) и
Метод применим и к нелинейному уравнению (1), но тогда он приводит к нелинейной алгебраической системе.
Основной трудностью, препятствующей применению метода моментов, является сложность вычисления двукратных интегралов, входящих в (31). Поэтому обычно ограничиваются малым числом членов суммы (30).
Замечание. Если система
ортогональна, то метод моментов эквивалентен приближенной замене ядра на специальное вырожденное ядро:
