4. Монотонность.

Точное решение и уравнения при определенных условиях сохраняет монотонность. Например, если начальные данные монотонны и температура на концах отрезка постоянна, то профиль температуры будет монотонен в любой момент времени. То же будет при постановке задачи Коши на бесконечной прямой.

Выясним, сохраняет ли схема (6) монотонность решения. Ограничимся задачей на бесконечной прямой, хотя при использовании результатов надо помнить, что краевые условия тоже влияют на монотонность (если разностное краевое условие не точное, то его неудачное написание может привести к немонотонности схемы).

Для случая результат почти очевиден. Получающаяся при этом явная схема имеет форму (10.34):

Необходимым и достаточным условием монотонности является неотрицательность коэффициентов . Видно, что если выполнено условие устойчивости этой схемы коэффициенты неотрицательны и схема монотонна. В противном случае явная схема немонотонна.

При запишем неявную схему (6), полагая и выделяя преобладающий член на новом слое:

Напишем для аналогичные выражения и подставим их в правую часть (22). При этом появятся другие значения с нового слоя; будем их исключать тем же способом. Коэффициенты при значениях на новом слое в правой части будут при этом убывать в геометрической прогрессии. Поэтому в пределе соотношение (22) перейдет в явную схему вида (10.34) с бесконечной суммой, т. е. с бесконечной зоной влияния. Очевидно, если выполнено условие

то все коэффициенты в (22) неотрицательны. Тогда все коэффициенты в соответствующей явной схеме также будут неотрицательны. Следовательно, неравенство (23) есть достаточное условие монотонности схемы (6).

Можно получить необходимое и достаточное условие монотонности, приведя схему (22) после выполнения громоздких выкладок к явной форме (10.34):

где

Очевидно, при и отрицательным может быть только коэффициент Он неотрицателен, если

Это условие необходимо и достаточно для монотонности схемы (6); оно несколько слабее ограничения (23).

Таким образом, неявные схемы монотонны только при очень малом шаге по времени . По абсолютно устойчивым неявным схемам расчеты обычно проводят с шагом не гаран

Единственное исключение — чисто неявная схема с которая монотонна при любых шагах.

Напомним, что достаточно гладкое решение на подробных сетках можно хорошо находить и по немонотонным схемам. На грубых же сетках, особенно при разрывных начальных данных, симметричная схема может привести к «разболтке» счета. Чисто неявная схема даже в этих условиях дает плавно меняющееся разностное решение, хотя точность его невысока.

Замечание. Монотонные схемы для параболического уравнения могут иметь второй порядок точности по пространству. Но, как и для уравнения переноса, для параболического уравнения не известно ни одной монотонной схемы, которая имела бы второй порядок точности по времени (хотя никаких теорем о невозможности построения таких схем не доказано).

Рис. 77