6. Наилучшая схема.

Рассмотрим, как следует обобщать схему (6) на уравнение теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности, которое имеет следующий вид:

Случай непрерывных и гладких коэффициентов несложен, и отдельно мы его разбирать не будем. Исследуем более общий случай, когда — кусочно-иепрерывные функции.

Разрывы коэффициентов уравнения (31) возникают, например, на границах областей в задачах для слоистых сред или на ударных волнах в движущейся среде. В точках разрыва коэффициентов решение будет иметь особенности, т. е. оно будет обобщенным и, вообще говоря, не единственным.

Рис. 80.

Для выделения допустимого решения из множества обобщенных решений надо выяснить, какие величины всюду непрерывны, согласно физическому смыслу задачи. Для теплопроводности, как уже отмечалось в главе VIII, § 2, п. 7, непрерывны температура и и поток тепла

Заметим, что производные этих величин разрывны; их имеет разрывы в точках разрыва разрывна в точках разрыва

Чтобы получить сходимость к допустимому обобщенному решению, составим методом баланса консервативную разностную схему.

Уравнение (31) записано в дивергентной форме, соответствующей закону сохранения энергии. Удобнее заменить его системой уравнений

Выберем шаблон и связанную с ним ячейку (рис. 80) и запишем первое уравнение (32) в виде закона сохранения энергии для этой ячейки:

Второе уравнение (32) проинтегрируем по интервалу сетки:

Справедливость формулы (336) очевидна; если коэффициент непрерывен на интервале сетки; но благодаря аддитивности интегрирования формула остается справедливой при наличии разрывов внутри

Припишем значения температуры узлам сетки, а значения тепловых потоков — серединам интервалов (крестики на рис. 80). Аппроксимируем интегралы в (33) квадратурными формулами. При этом вычислим по двухточечной формуле с весом а на верхнем слое, а в (336) вынесем среднее значение потока за знак интеграла:

что допустимо в силу непрерывности потока. Получим консервативную разностную схему, называемую наилучшей:

где

При вычислениях интегралы (34г), (34д) также аппроксимируют несложными квадратурными формулами. Например, если непрерывны всюду, за исключением узлов , то можно воспользоваться одной из следующих формул:

где черта означает, что величина отнесена к моменту времени f. Под узловыми значениями разрывных величин здесь надо понимать соответствующие односторонние пределы.

Название схемы (34) связано с ее высокой точностью. Например, можно показать, что для однородного стационарного уравнения (31) наилучшая схема является точной, если интегралы (34г) вычисляются точно. Это означает, что разностное решение при любых величинах шагов совпадает с и (хотя разностные значения могут не совпадать с точными значениями потоков в точках

Исследуем схему (34). Подставляя (346) в (34а), получим линейную трехточечную (по пространству) схему. Для определения надо решить линейную систему с трехдиагональной матрицей, что выполняется методом прогонки. Легко видеть, что диагональные члены матрицы преобладают; это обеспечивает единственность разностного решения и устойчивость прогонки.

Устойчивость по начальным данным исследуем методом операторных неравенств. Ограничимся случаем задачи Коши на бесконечной прямой, когда .

Перепишем двуслойную схему (34) в канонической форме:

где

Введем скалярное произведение

Нетрудно убедиться, что операторы А и В неотрицательные и самосопряженные. В самом деле,

Сдвигая во второй сумме индекс на единицу, получим

Равенство (366) означает, что тогда , что доказывает наше утверждение об операторах А и В. Заметим, что из (38) следует оценка

Пусть выполнено условие

Учитывая, что получим:

Это означает, что следовательно, по теореме из главы IX, § 3, п. 6 схема (34) устойчива в норме Таким образом, неравенство (40) является достаточным условием устойчивости схемы (34).

Если выполнено условие

то, в силу неравенства (39), условие (40) имеет место. Поэтому неравенство (-также является достаточным условием устойчивости схемы (34).

Сходимость для своего доказательства требует оценок аппроксимации. Это связано с громоздкими выкладками (см. [30]), поэтому приведем только окончательный результат.

Пусть кусочно-непрерывны вместе со своими первыми и вторыми производными, причем разрывы неподвижны (т. е. линии разрыва на плоскости ) параллельны оси i). Выберем специальную сетку по т. е. такую, что все точки разрыва коэффициентов и их указанных производных являются ее узлами; эта сетка будет, вообще говоря, неравномерной. За средний шаг этой сетки примем со скалярным произведением (37).

Тогда наилучшая схема (34) при выполнении условия устойчивости (41) равномерно сходится на специальных сетках с точностью , где при весе при

Если дважды непрерывно дифференцируемы, то наилучшая схема при выполнении условия устойчивости равномерно сходится на произвольных (неравномерных) сетках с точностью

Монотонность схемы имеет место при достаточно малом шаге по времени:

за одним очевидным исключением: чисто неявная схема с монотонна при любых шагах. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству условия (23).

Замечание. Коэффициенты разностной схемы вычисляются с некоторыми ошибками, что может привести к искажению решения. Устойчивость разностного решения относительно изменения коэффициентов называется коэффициентной устойчивостью (ко-устойчивостью).

Доказано (см. [30]), что наилучшая схема при выполнении условия (41) является ко-устойчивой.