3. Суммирование рядов Фурье.

Нахождение наилучшего приближения приводит к суммированию рядов. Казалось бы, просуммировать ряд нетрудно. Но, во-первых, он далеко не всегда сходится равномерно, даже при наличии сходимости в каждой точке. Так, если на первой половине периода и у(х) = 0 на второй, то максимум частной суммы тригонометрического ряда Фурье стремится к 1,09 при (явление Гиббса, рис. 12), хотя в любой точке, кроме точки разрыва, этот ряд сходится к функции.

Во-вторых, если надо суммировать много членов ряда, то происходит большое накопление погрешности входных данных и даже погрешности округления. Например, ряд Тейлора для сходится при любых значениях аргумента. Вычислим 2550°, используя ЭВМ с 16 значащими цифрами и прёкращая вычисления, когда очередной член ряда будет менее Получим бессмысленный ответ:

Причина состоит в том, что вычисления с заданным количеством цифр эквивалентны внесению погрешности в коэффициенты ряда. Погрешности вносятся и в том случае, если находить коэффициенты по формулам (39) не аналитически, а численно. А бесконечные ряды, вообще говоря, неустойчивы по отношению к погрешности коэффициентов. В самом деле, изменим все коэффициенты, а ряда Фурье на малые величины ; тогда сумма ряда изменится на

т. е. при изменение суммы бесконечно велико. Таким образом, суммирование бесконечного ряда Фурье является некорректной задачей, и требуется какая-то регуляризация суммирования.

Регуляризация по числу членов. Простейшей регуляризацией является использование небольшого отрезка ряда

где верхний предел суммирования есть функция ошибок б отдельных коэффициентов. Чем меньше , тем больше допустимое .

Оценим оптимальное число членов для Тригонометрического ряда Фурье. Ошибка из-за отбрасывания далеких членов ряда равна

а ошибка из-за погрешности коэффициентов составляет

При увеличении N на единицу первая ошибка убывает на величину а вторая возрастает на Очевидно, при малых N коэффициенты велики, и преобладает убывание первой ошибки, а при достаточно больших N преобладает возрастание второй.

Оптимальной является ситуация, когда скорости изменения этих ошибок равны, т. е. при Получается естественный вывод: надо суммировать только те члены ряда, коэффициенты которых превышают уровень ошибки . Суммирование следующих членов ряда только ухудшает точность и может привести к бессмысленному результату, как видно из примера с вычислением 2550° (в котором роль ошибок коэффициентов играют погрешности округления при вычислении максимальных членов суммы).

Ранее отмечалось, что если имеет ограниченную производную, то . Отсюда следует, что по порядку величины оптимальное число членов а достигаемая при этом погрешность . Для достаточно гладких функций оптимальное число членов оказывается небольшим и при уменьшении растет, но довольно медленно. Достигаемая точность тем выше, чем более высокие производные имеет функция.

Регуляризация форм-фактором. Описанный способ напоминает обрезание шумов в радиотехнике. Но подавлять шумы можно и с помощью форм-фактора, лишь ослабляющего высокие частоты. Для этого каждый член ряда (37) делят на соответственно подобранную величину и суммируют достаточно большое число членов ряда

где при малых номерах , а при больших номерах они достаточно быстро возрастают, причем . Регуляризация по числу членов означает, что выбрано при при Естественный способ выбора регуляризирующих множцтелей предложил А. Н. Тихонов [44], показавший, что если ортогональная система есть система собственных функций задачи Штурма—Лиувилля:

то сумму обобщенного ряда Фурье следует заменить на

Поскольку собственные значения положительны и быстро растут при то ошибки на высоких частотах хорошо подавляются. В главе XIV, § 2 будет показано, что суммирование ряда (40) устойчиво, а сумма равномерно сходится к при если параметр по определенному закону.

Там же будет рассмотрен выбор параметра регуляризации а; сейчас отметим, что оптимальное монотонно стремится к нулю при

Попытки улучшить сходимость тригонометрических рядов Фурье предпринимались давно. В методе Фейера рассматриваются частные суммы ряда Фурье:

и составляется функция

Эта функция при N со равномерно сходится к у(х), если последняя непрерывна. Скорость сходимости невелика; если ограничиться небольшим числом членов, то все резкие колебания функции будут сильно сглажены. Реально для хорошей передачи одного резкого скачка надо взять около 20 гармоник, а 10 гармоник дают невысокую точность.

Более быструю сходимость и меньшее сглаживание функции дает метод -множителей Ланцоша. В нем частная сумма осредняется по отрезку т. е. по одному полупериоду наивысшей гармоники. Это приводит к умножению каждого члена частной суммы на Метод Ланцоша позволяет даже почленно дифференцировать ряд Фурье, причем выполнение всех выкладок приводит к несложной формуле

На метод Ланцоша похож метод С. Н. Бернштейна, в котором полагают

Это обеспечивает равномерную сходимость для любой непрерывной функции

Однако последние три метода не слишком точны, и область их применимости узка; поэтому с появлением регуляризации по А. Н. Тихонову их почти перестали употреблять.