ГЛАВА V. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

В главе V рассмотрены методы решения систем алгебраических уравнений. В § 1 изложено решение линейных систем методом исключения Гаусса, а также вычисление определителя и обращение матрицы; дан обзор других методов решения этих задач. В § 2 приведены различные методы нахождения корня одного трансцендентного уравнения. В § 3 некоторые из этих методов обобщены на системы нелинейных уравнений.

§ 1. Линейные системы

1. Задачи линейной алгебры.

Выделяют четыре основные задачи линейной алгебры: решение системы линейных уравнений где - квадратная матрица и — векторы; вычисление определителя; нахождение обратной матрицы; определение собственных значений и собственных векторов матрицы. В этом параграфе мы подробно рассмотрим первую задачу и попутно решим вторую и третью. Четвертая задача существенно сложней, и ей посвящена следующая глава.

Рис. 24.

Известно, что если , то система линейных уравнений или не имеет решения, или имеет бесчисленное множество решений. Если же то система имеет решение, притом единственное. Дальше мы будем рассматривать только последний случай.

Все эти случаи хорошо иллюстрируются геометрически на системе двух уравнений (рис. 24). Каждому уравнению соответствует прямая в плоскости , а точка пересечения этих прямых есть решение системы (для уравнений решение есть точка пересечения всех гиперплоскостей в -мерном пространстве). Если то наклоны прямых равны, и они либо параллельны, либо совпадают. В противном случае прямые имеют единственную точку пересечения.

На практике кроме существования и единственности решения важна еще устойчивость относительно погрешностей правой части и элементов матрицы. Формально перепишем линейную систему в виде . Варьируя это равенство и определяя вариацию обратной матрицы из соотношения получим

Формально устойчивость есть, ибо при обратная матрица существует. Но если матрица имеет большие элементы, то можно указать такой вид погрешности исходных данных, который сильно изменит решение. В этом случае систему называют плохо обусловленной (по-видимому, плохая обусловленность была известна еще Гауссу). Очевидно, у плохо обусловленных систем однако заметим, что этот признак плохой обусловленности является необходимым, но недостаточным.

Плохо обусловленная система геометрически соответствует почти параллельным прямым. При этом небольшое изменение наклона или сдвиг одной прямой сильно меняют положение точки пересечения (рис. 24, пунктир). В многомерном случае геометрическая картина может быть более сложной. Так, для трех переменных возможен случай плохой обусловленности, когда соответствующие трем уравнениям плоскости пересекаются под большими углами (т. е. далеки от параллельности), но линии их попарного пересечения почти параллельны.

В теоретических исследованиях обусловленность часто характеризуют числом Это число зависит от того, какая норма - матриц выбрана, но при любой норме Чем больше это число, тем хуже обусловленность системы; обычно уже означает плохую обусловленность.

В практических расчетах этим определением плохой обусловленности пользуются редко, ибо для его проверки надо находить обратную матрицу, что при плохо обусловленной матрице А нелегко сделать. Чаще ограничиваются проверкой условия хотя оно является необходимым, но недостаточным, что видно из простого примера. Положим , где — единичная матрица; тогда и даже при не очень малых детерминант высокого порядка очень мал. Но система с диагональной матрицей хорошо обусловлена, и для нее критерий наиболее благоприятен.

Методы решения линейных систем делятся на прямые и итерационные. Прямые методы дают решение за конечное число действий, просты и наиболее универсальны; они рассматриваются в этом параграфе. Для систем небольшого порядка применяются практически только прямые методы. Итерационные методы приведены в § 3; они выгодны для систем специального вида, со слабо заполненной матрицей очень большого порядка Сравнительно недавно для решения плохо обусловленных систем стали применять методы регуляризации.