2. Итерационные методы.

Существует много методов, основанных на бесконечной последовательности преобразований подобия, приводящей матрицу к некоторым специальным формам, для которых полная проблема собственных значений легко решается. Итерационные методы сложнее прямых, а для матриц произвольного вида заметно уступают прямым методам по скорости (и зачастую по устойчивости). Но поскольку известные прямые методы не совсем удовлетворительны, то пренебрегать итерационными методами не следует. Ниже даны краткие сведения о наиболее известных итерационных методах; подробное - изложение их алгоритмов имеется, например, в монографиях [5, 41].

Метод обобщенных сращений (развитый Эберлейн и В. В. Воеводиным в 1962—1965 гг.) основан на преобразовании матрицы к квазидиагональной форме, когда по главной диагонали расположены клетки, порядки которых равны кратности соответствующих собственных значений, а все остальные элементы матрицы равны нулю (разумеется, приближенно, ибо процесс итерационный). Если все собственные значения простые, то процесс сходится к диагональной матрице.

Для клеток, соответствующих кратным собственным значениям, надо находить собственные значения и собственные векторы специальным алгоритмом, т. е. в метод включаются дополнительные процедуры. Это неудобство имеется во всех итерационных методах. Но поскольку порядок таких клеток обычно невелик, то это не вызывает серьезных затруднений.

Шаг процесса состоит из двух частей. На первом полушаге делается элементарное - преобразование матрицей типа N или М, в которой только одна из компонент v отлична от нуля; ее величина подбирается так, чтобы как можно сильнее уменьшить

Поскольку для любой матрицы причем только для нормальных матриц имеет место равенство, то такое преобразование приближает матрицу к нормальной. Второй полушаг — это вращение типа Якоби; для вещественной матрицы угол поворота определяется из условия

Процесс организован так, что полный шаг для эрмитовых матриц точно совпадает с циклическим вариантом метода Якоби. Значит, вычисления в общем случае требуют более арифметических действий, т. е. метод довольно медленный. Зато он является одним из наиболее устойчивых.

Ортогональный степенной метод (предложенный В. В. Воеводиным в 1962 г.) основан на преобразовании матрицы к квазитреугольной форме, когда на главной диагонали стоят клетки, а ниже их все элементы равны нулю. У таких матриц собственные значения равны собственным значениям диагональных клеток, но собственные векторы определяются сложней и значительно менее точно.

Ортогональный степенной метод устойчив и веегда сходится. Скорость сходимости линейная, со знаменателем типа , где — собственные значения, расположенные в порядке возрастания модулей (причем кратные значения считаются за одно). Следовательно, требуемое число итераций довольно велико, особенно если среди собственных значений есть близкие. Одна итерация требует арифметических действий, так что метод оказывается весьма медленным.

Треугольный степенной метод (предложен Бауэром в 1957 г.) также основан на преобразовании матрицы к квазитреугольной форме. Сходимость его тоже линейная, но одна итерация требует всего действий, а при небольшом усложнении алгоритма — даже действий. Зато этот метод менее устойчив, чем ортогональный степенной метод, особенно если собственные значения комплексные, или в расчетах появляются матрицы с близкими к нулю главными минорами. Зачастую для сохранения устойчивости приходится видоизменять алгоритм.

-алгоритм (предложен Рутисхаузером и Бауэром в 1955 г.) тоже содержит преобразование матрицы к квазитреугольной форме. Он разработан только для вещественных матриц с вещественными собственными значениями. Метод всегда сходится, причем вблизи решения квадратично; одна итерация требует действий. Таким образом, по скорости этот метод превосходит ортогональный степенной; зато он уступает ему по устойчивости.

-алгоритм (предложен В. Н. Кублановской и Френсисом в 1961 г.) основан на преобразовании матрицы к квазитреугольной форме. По устойчивости и характеру сходимости он аналогичен ортогональному степенному методу. Этот метод очень выгоден для верхних почти треугольных матриц: в ходе преобразований их структура не разрушается, и благодаря этому одна итерация требует всего арифметических действий (т. е. время расчета уменьшается в раз по сравнению с общим случаем). Детали этого алгоритма хорошо отработаны, и существуют основанные на нем стандартные программы.

-алгоритм (предложен Рутисхаузером в 1955 г.) рассчитан только на вещественные матрицы с вещественными собственными значениями. Он близок к треугольному степенному методу, не очень устойчив и сходится медленно (построены даже примеры зацикливания процесса). Зато для почти треугольных матриц он требует всего действий на одну итерацию, а для ленточных матриц дает еще большую экономию.