2. Основные понятия.

Разностная схема (35)

устойчива, если решение системы разностных уравнений непрерывно зависит от входных данных и эта зависимость равномерна относительно шага сетки. Иными словами, для каждого найдется такое не зависящее от шага h (по крайней мере, для достаточно малых ), что

если

Если разностная схема (35) линейна, то разностное решение линейно зависит от входных данных. В этом случае , где К — константа, не зависящая от h. Поэтому для линейных схем определение устойчивости (45) принимает следующий вид:

где М, — константы, не зависящие от h.

Напомним, что в (45) и (46) вариации решения и входных данных рассматриваются каждая в своей норме.

Дальше мы встретимся с примерами разностных схем, устойчивых при одном выборе норм и неустойчивых — при другом.

Если независимых переменных несколько, то вводят понятия условной и безусловной устойчивости.. Устойчивость называется безусловной, если (45) или (46) выполняется при произвольном соотношении шагов по различным переменным, лишь бы они были достаточно малы. Если для выполнения (45) или (46) шаги по разным переменным должны удовлетворять дополнительным соотношениям, то устойчивость называется условной. Например, дальше будет доказано, что явная схема (18) для уравнения теплопроводности устойчива только при .

Непрерывную зависимость разностного решения от называют устойчивостью по правой части, а непрерывную зависимость от — устойчивостью по граничным условиям. Устойчивость по граничному условию на гиперплоскости называют устойчивостью по начальным данным.

Все простейшие типы уравнений, кроме эллиптического, в качестве одной из переменных содержат время. Для таких уравнений обычно ставится эволюционная задача — смешанная задача Коши. Даже эллиптические уравнения нередко численно решаются посредством счета на установление, т. е. при помощи постановки вспомогательной задачи Коши. Поэтому исследованию устойчивости эволюционных задач мы уделим особое внимание.

Рассмотрим разностные схемы, содержащие только один известный и один новый слой, как (16) или (18). Такие схемы называют двуслойными. Их можно составить для любого уравнения. В самом деле, дифференциальное уравнение любого порядка по времени можно свести к системе уравнений первого порядка по времени, а для аппроксимации первой производной по времени достаточно двух слоев.

Для двуслойных схем решение смешанной задачи Коши на некотором слое t можно рассматривать как начальные данные для всех последующих слоев.

Двуслойная разностная схема называется равномерно устойчивой по начальным данным, если при постановке начальных данных на любом слое она по ним устойчива, причем устойчивость равномерна по t. Запишем условие равномерной устойчивости, ограничиваясь случаем линейных схем:

где константа К не зависит от и h; здесь — решения разностной схемы с разными начальными данными и одной и той же правой частью.

Очевидно, из равномерной устойчивости по начальным данным следует обычная устойчивость по начальным данным (но не наоборот).

Признак равномерной устойчивости. Если , то для равномерной устойчивости по начальным данным достаточно, чтобы при всех выполнялось

Доказательство. Условие (48) означает, что если на некотором слое имеется ошибка то при переходе на следующий слой возрастает не более чем в раз. Для перехода от надо сделать шагов по времени; при этом ошибка возрастет не более чем в Отсюда следует:

что и требовалось доказать.

Признак (48) мы будем часто использовать при доказательстве устойчивости конкретных схем.

Из (49) видно, что если константа С велика, то, хотя схема формально устойчива, фактическая ошибка может сильно возрастать в ходе расчета; в этом случае схема является слабо устойчивой. Очевидно, чем больше промежуток времени , на котором ищется решение, тем меньшая величина С обеспечивает хорошую устойчивость расчета. При схема будет устойчивой, только если .

Если точное решение задачи сильно возрастает или убывает с течением времени, то более интересна не абсолютная ошибка, а относительная . Можно классифицировать устойчивость по нарастанию относительной ошибки. Пусть, например, и . Тогда разностную схему, удовлетворяющую признаку (48), будем называть слабо устойчивой при хорошо устойчивой в обратном случае и асимптотически устойчивой при , если

Для многослойных схем определение и признаки равномерной устойчивости по начальным данным имеют более сложный вид; мы не будем их рассматривать.

Теорема. Пусть двуслойная разностная схема равномерно устойчива по начальным данным и такова, что если два разностных решения равны на некотором слое, , то на следующем слое выполняется соотношение

(50)

Тогда разностная схема устойчива по правой части.

Доказательство. Наряду с решением у рассмотрим решение у, соответствующее возмущенной правой части поскольку исследуется устойчивость только по правой части, то можно считать, что .

Введем последовательность сеточных функций определенных при следующими условиями:

Эти функции определены так, что при Заметим, что в тех же обозначениях можно записать

Сравним функции . На слое они совпадают по определению. Тогда из (50) и (51) следует, что

При эти функции удовлетворяют разностной схеме с одной и той же правой частью но с разными начальными данными на слое . Поэтому в силу определения (47) на последнем слое будут выполняться неравенства

Отсюда при помощи неравенства треугольника получим

т. е. имеет место устойчивость по правой части, что и требовалось доказать.

Следствие. Если неравенства (48) и (50) выполнены, то разностная схема устойчива и по начальным данным, и по правой части.

Замечание. Теорема была доказана для конечного промежутка времени. В бесконечной по t области, если выполнено условие (50), можно доказать следующие достаточные признаки устойчивости по правой части:

а) Если при переходе со слоя на слой ошибка начальных данных не возрастает (), то схема устойчива по возмущениям правой части с конечным суммарным импульсом

б) Если при переходе со слоя на слой ошибка начальных данных убывает как , то схема устойчива по отношению к постоянно действующим возмущениям .

3. Принцип максимума.

Есть несколько способов исследования устойчивости разностных схем: принцип максимума, метод разделения переменных, метод операторных неравенств и некоторые другие. Сейчас мы рассмотрим принцип максимума, который применяют к уравнениям переноса, а также к параболическим и эллиптическим уравнениям. Он позволяет доказывать устойчивость в .

Сформулируем признак устойчивости явных и неявных двуслойных линейных разностных схем. Запишем двуслойную схему в следующем виде:

где суммирование на каждом слое производится по узлам шаблона около n-го узла. Коэффициенты перенумеруем так, чтобы . Тогда:

а) схема разномерно устойчива по начальным данным, если

(53)

б) схема устойчива по правой части, если выполнено (53) и

(54)

Доказательство, а) Фиксируем правую часть (52) и внесем ошибку на исходном слое. Тогда ошибка на новом слое удовлетворяет уравнению

Отсюда для любого узла следует неравенство

Применим это неравенство к узлу , в котором достигает своего максимума; при этом в правой части заменим их максимальными значениями, что только усилит неравенство. Тогда получим

или

Но в силу неравенства (53)

Поэтому

т. е. выполнен признак (48). Первое утверждение доказано.

б) Зафиксируем в (52) решение на исходном слое и внесем погрешность в правую часть. Тогда погрешность решения на новом слое удовлетворяет уравнению

Отсюда следует неравенство

Аналогично предыдущему, выберем узел и заменим справа все величины их максимумами. Легко получим, что

Отсюда с учетом (54) следует, что

т. е. выполнено условие (50). Второе утверждение доказано.

Замечание 1. Доказательство непосредственно применимо к схемам с переменными (зависящими от ) коэффициентами. Его можно обобщить на некоторые квазилинейные схемы, в которых коэффициенты зависят от у.

Замечание 2. Краевые условия двуслойных линейных схем также имеют форму (52). Поэтому данный признак позволяет устанавливать устойчивость по краевым условиям.

Замечание 3. Принцип максимума дает достаточное условие устойчивости; невыполнение критериев (53) и (54) еще не означает неустойчивости схемы.

Изложенным методом обычно удается доказать устойчивость только схем точности и то не всех; для обоснования устойчивости схем более высокого порядка точности по применяют другие методы.

Пример. Рассмотрим нестационарную краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом (15):

Запишем для нее неявную схему (16)-(17) на равномерной сетке:

Переписывая эту схему в форме (52), получим

остальные коэффициенты равны нулю. Видно, что при любых соотношениях шагов по t и условие (54) выполнено в регулярных узлах, а условие (53) — во всех узлах сетки. Следовательно, схема безусловно устойчива по начальным данным, правой части И краевым условиям.

Для эллиптических уравнений обычно дается другая формулировка принципа максимума. Кроме того, для нестационарных задач имеется ряд модификаций принципа максимума: метод роста единичной ошибки, метод индекса разностной схемы и т. д. Мы их рассматривать не будем.