2. Псевдовязкость.

Уравнения (53)-(56) составляют гиперболическую квазилинейную систему. Из курса газодинамики известно, что среди ее решений есть сильные разрывы — ударные волны. В главе IX мы видели, что для разностного расчета таких решений надо изменять уравнения, вводя в них специально подобранные диссипативные члены.

В газодинамике такие члены удается найти из физических соображений. Дело в том, что уравнение газодинамики сравнительно грубо описывают поведение газа. Эти уравнения выводятся из кинетического уравнения Больцмана для функции распределения молекул. Если при выводе учесть эффекты диффузии молекул, то в уравнениях газодинамики появятся так называемые вязкие члены. Например, уравнение импульса (48) примет вид (см. [19])

где являются коэффициентами физической вязкости. Учет физической вязкости приводит к изменению качественного характера решения: плоские ударные волны превращаются в аналитические решения, в которых скачки сглажены и имеют эффективную ширину порядка длины свободного пробега молекул. Качественно это легко понять на примере плоского течения, где уравнение (57) принимает форму

напоминающую уравнение теплопроводности; видно, что вязкий член должен сглаживать разрывы решения.

Обычно в численных расчетах довольствуются только вторым вязким членом в уравнении (57) и считают коэффициент слабо меняющимся. Тогда этот член можно объединить с давлением:

(59)

и рассматривать величину

как вязкое давление. При этом в уравнение энергии вместо обычного давления также ставят величину называя ее полным давлением.

Вязкость называется линейной. Она приводит к «размазыванию» ударной волны со скачком скорости на интервал

где — показатель политропы вещества. Физический коэффициент вязкости очень мал и дает ничтожно малое сглаживание. Для расчетов по разностным схемам необходимо сглаживание на несколько интервалов сетки. Поэтому в численных расчетах величину приходится увеличивать на много порядков по сравнению с ее физическим значением.

Для численных расчетов необходимо введение вязкости лишь в окрестности ударных волн. Но вязкий член в (59) присутствует во всех точках пространства. Поскольку в численных расчетах коэффициент выбирается много больше физического коэффициента, то наличие псевдовязкости, помимо положительного эффекта - сглаживания разрывов, — приводит к отрицательному — внесению заметной погрешности.

Чтобы уменьшить эту погрешность, Нейман и Рихтмайер [72] предложили выбирать коэффициент псевдовязкости большим в окрестности скачков скорости и малым в зонах гладких течений, где скорости соседних точек близки. Для этого они положили

где — коэффициент, небольшой по величине. Такая псевдовязкость называется квадратичной, потому что она приводит к вязкому давлению:

Переписывая (62) в виде и подставляя в (61), нетрудно убедиться, что квадратичная псевдовязкость сглаживает скачок любой интенсивности на один и тот же интервал:

Обычно коэффициент псевдовязкости выбирают так, чтобы равнялось 2—3 шагам разностной сетки.

В главе X, § 2 было проведено строгое исследование квадратичной псевдовязкости на примере простейшего квазилинейного уравнения (10.44); при этом для зоны сглаживания сильного разрыва было получено выражение (10.51)- (10.52), сходное с (64).

Линейная вязкость приводит к монотонным (или почти монотонным) разностным решениям, так как ей соответствуют аналитические точные решения, которые хорошо аппроксимируются разностными схемами; зато фронты скачков при этом сильно сглажены. Квадратичная вязкость приводит к более крутым фронтам; но ей соответствуют точные решения с разрывами первой или второй производной, поэтому разностное решение немонотонно вблизи слабых и сильных разрывов.

Нередко используют комбинацию линейной и квадратичной вязкости периментально подобранными коэффициентами.

Поскольку , то вязкое давление положительно при сжатии и отрицательно при разрежении вещества. Сильными разрывами являются только ударные волны, поэтому для сглаживания разрывов можно вводить вязкость только при сжатиях. При присутствие псевдовязкости не обязательно и даже уменьшает точность расчета. Поэтому обычно полагают

Этот вид псевдовязкости независимо предложен рядом авторов (см. [27]).