4. Метод Монте-Карло.

Этот метод можно применять к задачам, которые обычно формулируют в терминах уравнений с частными производными. Рассмотрим его на несложном примере.

Пусть частицы блуждают по узлам двумерной пространственной сетки (рис. 84) так, что за один шаг по времени частица может перейти с вероятностью в любой из четырех соседних узлов. Тогда, если на данном шаге в узле есть частиц, то на следующем шаге все они уйдут в соседние узлы. Но зато из каждого соседнего узла примерно четверть бывших там частиц придет в этот узел, так что

Вычитая из обеих частей запишем

Уравнение (74) совпадает с явным вариантом разностной схемы (56) для уравнения теплопроводности, если в этой схеме положить и выбрать шаги специальным образом:

Поэтому вместо решения разностных уравнений можно разыграть случайный процесс. Поместим в каждый узел сетки число частиц, пропорциональное начальному значению . На каждом шаге для каждой частицы будем разыгрывать переход в один из соседних узлов. Перераспределение частиц будет соответствовать изменению решения со временем.

Вопрос о границе и условиях на ней довольно сложен и здесь не рассматривается.

В обычных задачах теплопроводности этот метод гораздо менее точен, чем локально-одномерные методы. Но в очень сложных задачах, где число измерений велико и написать разностную схему трудно, метод Монте-Карло может оказаться более простым и быстрым способом решения.