7. Метод секущих [48].

В методе Ньютона требуется вычислять производную функции, что не всегда удобно. Можно заменить производную первой разделенной разностью, найденной по двум последним итерациям, т. е. заменить касательную секущей. Тогда вместо процесса (28) получим

Рис. 29.

Для начала процесса надо задать (рис. 29). Такие процессы, где для вычисления очередного приближения надо знать два предыдущих, называют двухшаговыми.

Эти, казалось бы, небольшие изменения сильно влияют на характер итераций. Например, сходимость итераций может быть немонотонной не только вдали от корня, но и в малой окрестности корня. Скорость сходимости также изменяется. Иллюстрацией служит приведенный в таблице 16 расчет по методу секущих; для удобства сравнения с методом Ньютона первые два приближения взяты одинаковыми.

Видно, что метод секущих сходится медленнее.

Скорость сходимости можно оценить, разлагая все функции в (32) по формуле Тейлора с центром . Получим с точностью до бесконечно малых более высокого порядка

Решение этого рекуррентного соотношения естественно искать в виде аналогичном (29) или (31а). Подставляя эту форму в соотношение (33), получим

Только положительный корень квадратного уравнения (34) соответствует убыванию ошибки, т. е. сходящемуся процессу. Следовательно, в методе секущих

в то время как в методе Ньютона ошибка убывает быстрей (соответствуя (5 — 2). Но в методе Ньютона на каждой итерации надо вычислять и функцию, и производную, а в методе секущих — только функцию. Поэтому при одинаковом объеме вычислений в методе секущих можно сделать вдвое больше итераций и получить более высокую точность.

В знаменателе формулы (32) стоит разность значений функции. Вдали от корня это несущественно; но вблизи корня, особенно корня высокой кратности, значения функции малы и очень близки. Возникает потеря значащих цифр, приводящая к «разболтке» счета. Это ограничивает точность, с которой можно найти корень; для простых корней это ограничение невелико, а для кратных может быть существенным.

Заметим, что приводить формулу (32) к общему знаменателю не следует: увеличится потеря точности в расчетах.

От «разболтки» страхуются так называемым приемом Гарвика. Выбирают не очень малое , ведут итерации до выполнения условия и затем продолжают расчет до тех пор, пока убывают. Первое же возрастание обычно означает начало «разболтки»; тогда расчет прекращают и последнюю итерацию не используют.