ЗАДАЧИ

1. Показать, что интегральное уравнение

эквивалентно краевой задаче для дифференциального уравнения

2. Записать уравнение (79) в каноническом виде (1); найти выражение для ядра .

3. Для уравнения Вольтерра (7) составить разностную схему и полный алгоритм вычисления разностного решения, используя формулу трапеций с равномерным шагом.

4. Для двумерного уравнения Фредгольма (6) составить разностную схему, используя в качестве кубатурлой формулы произведение одномерных формул Гаусса.

5. В методе последовательных приближений для уравнения (6) выразить через при помощи рекуррентного соотношения (16).

6. Доказать, что из соотношения (20) следует оценка (21).

7. Учитывая, что уравнение (23) имеет вырожденное ядро, а) найти его точное решение; б) сделать то же для

8. В уравнении (23) так подобрать правую часть чтобы при существовало решение.

9. Доказать утверждение, сформулированное в § 1, п. 5, замечании 1.

10. Для задачи сглаживания функции написать уравнение и краевые условия вариационной регуляризации с Обсудить влияние на погрешность сглаживания вблизи границ, для простоты полагая при

И. Регуляризировать задачу -кратного дифференцирования и используя запись этой задачи в виде интегрального уравнения

12. Аппроксимировать разностной схемой краевую задачу для уравнения Эйлера (53); сравнить ее с разностной схемой (78).

13. Составить разностную схему для регуляризации однократного дифференцирования, если задана а) на равномерной сетке, б) на неравномерной сетке.