3. Псевдовязкость.

Основную трудность для вычислений по разностным схемам представляют сильные разрывы решения. Эффективный прием расчета задач с разрывными решениями заключается в следующем. Подберем такую «малую» добавку к исходному уравнению, чтобы его разрывные решения превратились в непрерывные и достаточно гладкие. Тогда составить разностную схему для численного расчета этих гладких решений уже несложно.

Гладкие решения присущи уравнениям с диссипативными членами типа вязкого трения. Поэтому добавляемый в исходное уравнение член должен играть роль вязкости. Его называют псевдовязкостью, а также искусственной или математической вязкостью.

Рассмотрим подробно указанный способ на примере квазилинейного уравнения переноса (44). Заменим его следующим уравнением:

где последний член является псевдовязкостью, а коэффициент мал.

Очевидно, на дважды непрерывно дифференцируемых функциях последний член при малых невелик, так что для всех достаточно гладких решений исходного уравнения (44) найдутся близкие к ним гладкие решения уравнения. (50).

Выясним, нет ли среди гладких решений уравнения (50) такого, которое напоминало бы ударную волну (47):

движущуюся со скоростью . Будем искать автомодельное решение в виде бегущей волны

Подставляя его в (50), получим

Приравнивая каждый из сомножителей нулю, получим два типа решений:

Из них можно сконструировать решение, похожее на размытую волну шириной

Это решение не только непрерывно, но даже имеет кусочно-непрерывную вторую производную. При оно переходит в ударную волну (47).

Таким образом, и гладкие и разрывные решения исходного уравнения (44) можно рассматривать как предел соответствующих гладких решений уравнения (50) при s 0. Значит, вместо численного решения квазилинейного уравнения переноса можно численно решать уравнение (50) при достаточно малом . Решения последнего уравнения гладки, и их можно находить при помощи обычных однородных разностных схем.

Замечание 1. Коэффициент псевдовязкости обычно связывают с шагом сетки. Например, если в уравнении (50) положить

(52)

то любой сильный разрыв «размазывается» на одно и то же число интервалов сетки. Тогда при уравнение с псевдовязкостью (50) автоматически переходит в исходное уравнение (44), а сглаженная ударная волна (51) в ударную волну (47).

Пример. Составим простейшую (далеко не лучшую) разностную схему для уравнения (50), а тем самым и для уравнения (44); сетку для простоты предполагаем равномерной:

Это явная схема, так что разностное решение существует и единственно. Не проводя полного исследования схемы, определим только условие ее устойчивости.

Схема (53) нелинейна, поэтому сначала линеаризуем ее и получим уравнение для роста погрешности :

Коэффициенты при б у переменные; применяя принцип «замороженных» коэффициентов, будем считать их постоянными. Попутно произведем замены и т. д. Тогда (54) примет вид

Рассматривая рост ошибки, имеющей вид и делая в (55) стандартную подстановку:

определим множитель роста гармоники:

Если согласно (52) выбран коэффициент псевдовязкости то величина в квадратных скобках ограничена равномерно по шагу h. Тогда последний член в (56) есть и не нарушает устойчивости. Первые же два члена аналогичны множителю (15) и приводят к условию устойчивости типа Куранта:

где роль скорости играет величина решения и (напомним, однако, что для нелинейных схем этот способ исследования устойчивости является не строгим, а лишь правдоподобным).

Схема (53) является примером однородной схемы для расчета задач с произвольным числом движущихся разрывов, причем число разрывов может меняться с течением времени. Заметим, что для обеспечения хорошей точности расчета зона сглаживания разрыва должна быть небольшой, (3—5 интервалов) и сумма зон сглаживания всех разрывов должна быть мала по сравнению с общим числом узлов сетки N. Тем самым, фактически общее число разрывов не может быть большим.

Замечание 2. Псевдовязкость вида (50) обеспечивает сходимость к тем обобщенным решениям уравнения (44), которые соответствуют дивергентной форме (46). Для другого уравнения или даже для другой дивергентной формы того же уравнения эта псевдовязкость, вообще говоря, непригодна.

Замечание 3. Псевдовязкость (50), называемая квадратичной, имеет один заметный недостаток: не все решения уравнения (50) являются дважды дифференцируемыми. В самом деле, нетрудно проверить, что кусочно-гладкое решение (45) также удовлетворяет этому уравнению.

На таких решениях однородные схемы, рассчитанные обычно на дважды или трижды непрерывно дифференцируемые функции, имеют пониженный порядок аппроксимаций.

Этот недостаток устраняется, если использовать для уравнения (44) другую псевдовязкость, называемую линейной:

Уравнение (58) напоминает уравнение теплопроводности, все решения которого многократно дифференцируемы. Его нетрудно исследовать аналогично уравнению (50). Однако линейная псевдовязкость тоже не лишена недостатков.