2. Линейная интерполяция.

Пусть функция у(х) известна только в узлах некоторой сетки т. е. задана таблицей.

Если потребовать, чтобы совпадала с табличными значениями в выбранных узлах сетки, то получим систему

из которой можно определить параметры Этот способ подбора параметров называется интерполяцией (точнее, лагранжевой интерполяцией). По числу используемых узлов сетки будем называть интерполяцию одноточечной, двухточечной и т. д.

Если нелинейно зависит от параметров, то интерполяцию назовем нелинейной; в этом случае нахождение параметров из системы (1) может быть трудной задачей. Сейчас мы рассмотрим линейную интерполяцию, когда линейно зависит от параметров, т. е. представима в виде так называемого обобщенного многочлена

Очевидно, функции можно считать линейно-независимыми, иначе число членов в сумме и параметров можно было бы уменьшить. На систему функций надо наложить еще одно ограничение. Подставляя (2) в (1), получим для определения параметров следующую систему линейных уравнений:

Чтобы задача интерполяции всегда имела единственное решение, надо, чтобы при любом расположении узлов (лишь бы среди них не было совпадающих) определитель системы (3) был бы отличен от нуля:

Система функций, удовлетворяющих требованию (4), называется чебышевской. Таким образом, при линейной интерполяции надо строить обобщенный многочлен по какой-нибудь чебышевской системе функций.

Для линейной интерполяции наиболее удобны обычные многочлены, ибо они легко вычисляются и на клавишной машине и на ЭВМ. Другие системы функций сейчас почти не употребляются, хотя в теории подробно рассматривают интерполяцию тригонометрическими многочленами и экспонентами. Поэтому мы не приводим выражения обобщённого многочлена (2) через табулированные значения функции вывести это выражение несложно.