ЗАДАЧИ

1. Доказать, что если матрица порядка имеет собственных векторов , то она диагснальна.

2. Найти собственные векторы треугольной матрицы, считая все собственные значения простыми.

3. Доказать, что нормальная матрица при унитарном преобразовании подобия остается нормальной.

4. Показать, что если матрица А ленточная, то преобразование подобия матрицами отражения (30) не сохраняет ее структуры.

5. Какие элементы необходимо вычислять в формулах (43) — (44) при преобразовании подобия матрицами вращения для эрмитовой матрицы А?

6. Доказать, что сферическая норма произвольной матрицы не меняется при умножении с любой стороны на унитарную матрицу.

7. В итерационном методе вращений вывести для определения параметров поворота комплексных матриц формулу, аналогичную (51).

8. Показать, что в итерационном методе вращений формулы (54) определяют собственные векторы с точностью где — максимум модулей внедиагональных элементов; если же в этих формулах положить то точность ухудшается до .

9. Получить все формулы расчета матричных элементов для второго хода метода элементарных преобразований.

10. Написать формулы восстановления собственных векторов исходной матрицы по собственным векторам трехдиагональной матрицы в методе элементарных преобразований.

11. Показать, что если матрица А ленточная, то элементарное преобразование подобия (57) разрушает ее структуру.

12. а) Какой вид примут формулы метода линеаризации если недостающее уравнение получать из условия нормировки собственного вектора б) Как построить экономичный алгоритм решения полученной при этом, линейной системы, если матрица А является трехдиагональной?

13. Доказать, что метод обратных итераций с переменным сдвигом (75) сходится квадратично вблизи простого собственного значения.