6. Процесс Эйткена.

У всех рассмотренных выше обобщенных формул на равномерных и квазиравномерных сетках ошибку можно разложить в ряд по степеням шага типа (3.17). Значит, к ним ко всем применим метод Рунге. Но для его применения надо знать, каков порядок точности исходной формулы.

Предположим, что порядок точности существует, но неизвестен нам. Оказывается, и в этом случае можно уточнить результат, если расчеты проведены на трех (или более) сетках.

Чтобы упростить алгоритм расчета, выберем три сетки с постоянным отношением шагов, т. е. с шагами Обозначим приближенное значение интеграла на сетке через и ограничимся главным членом погрешности; тогда можно написать

Это система трех уравнений для определения неизвестных . Вводя вспомогательные обозначения преобразуем эту систему к следующему виду:

Перемножая крайние уравнения (23) и сравнивая с квадратом среднего уравнения, получим отсюда легко получить уточненное значение интеграла

Попарно вычитая уравнения (23) друг из друга, получим

или

Следовательно, эффективный порядок точности исходной формулы (22) равен

Описанный алгоритм был предложен Эйткеном в 1937 г. для ускорения сходимости итерационных процессов последовательного приближения, в которых ошибка убывает примерно по геометрической прогрессии (см. главу V, § 2),

Погрешность численного интегрирования при изменении шага в q раз меняется приблизительно в раз; поэтому если сетки последовательно сгущаются в одно и то же число раз, то ошибка убывает именно по требуемому закону.

Замечание. Вычислять уточненное значение следует именнр по формуле (24), не преобразовывая ее. В данной записи из вычитается поправка, в которой числитель и знаменатель имеют одинаковый порядок малости, поэтому заметной потери точности не происходит. Если же привести все члены в формуле к общему знаменателю, то в вычислениях придется удерживать много знаков, чтобы избежать потери точности при округлениях.

Пример. Рассмотрим вычисление интеграла

У подынтегральной функции даже первая производная не ограничена, поэтому все приведенные ранее априорные оценки погрешности неприменимы. Мы не знаем, каков здесь эффективный порядок точности каждой из рассмотренных ранее формул численного интегрирования. Составим таблицу 10 значений функцйи и вычислим интеграл по формулам трапеций и Симпсона при разных шагах (таблица 11).

Таблица 10

Таблица 11

Видно, что обе формулы дают результаты невысокой точности. Плохая точность формулы Симпсона означает, что формула трапеций фактически имеет не второй порядок точности и уточнение методом Рунге здесь бессмысленно. А уточнение первого столбца таблицы процессом Эйткена существенно улучшает результат; попутно выясняется, что в данном примере эффективный порядок точности формулы трапеций

Эффективный порядок точности оказался не целым числом! С этим приходится встречаться, если функция имеет особенность, а формула интегрирования явно этого не учитывает, или если особенность имеет сама формула (это возможно в нелинейных формулах интегрирования, рассмотренных в § 2).

Если никаких особенностей нет, то эффективный порядок точности может только слегка отличаться от теоретического благодаря наличию в погрешности не только главного члена, но и членов более высокого порядка малости. В этом случае при эффективный порядок стремится к теоретическому.

На этом основан быстрый метод контроля программ для ЭВМ. Зададим функцию, не имеющую особенностей, проведем расчеты на сгущающихся сетках и проверим, согласуется ли эффективный порядок точности с теоретическим. Сильное расхождение свидетельствует об ошибке в программе.