§ 4. Сходимость

1. Основная теорема.

В этом параграфе мы рассмотрим задачу, для дифференциального уравнения с граничными условиями

которая на сетке, состоящей из множества регулярных узлов и множества нерегулярных узлов , аппроксимирована разностной схемой

В конечном итоге нас будет интересовать близость разностного решения к точному решению и поскольку определено только на сетке , то сравнивать эти решения надо в сеточной норме.

Определение. Разностное решение сходится к решению задачи (70), если

разностное решение имеет порядок точности , если

Анализируя сходимость схемы ломаных (8.15) для обыкновенного дифференциального уравнения, мы видели, что погрешность решения вызвана погрешностью начальных данных и погрешностью аппроксимации, усиливающимися (или ослабляющимися) в ходе расчета. Интуитивно ясно, что для хорошей точности расчета достаточно, чтобы эти погрешности были малы и в ходе расчета не сильно возрастали.

Строго говоря, в любых расчетах присутствуют ошибки округления; поэтому при надо одновременно увеличивать количество десятичных знаков, удерживаемое в расчете. Но в современных ЭВМ относительная ошибка округления на одну операцию не превышает , т. е. пренебрежимо мала по сравнению с ошибками аппроксимации при тех шагах h, которые фактически используются. Поэтому в большинстве случаев ошибками округления можно пренебречь.

Определение. Разностная схема (71) корректна, если ее решение существует и единственно при любых входных данных принадлежащих заданным классам функций, и схема устойчива.

Строго говоря, для нелинейных схем разностное решение может быть не единственным или существовать не при всяких входных данных. В этом случае схему называют корректной в окрестности решения если (по крайней мере при достаточно малом ) для любых достаточно близких к в некоторой малой окрестности имеется единственное решение устойчивое по в смысле определения (45).

Отметим, что если граница области G состоит из нескольких кусков Г, то обычно операторы и правые части граничных условий на этих кусках различны.

Разностные операторы и правые части на соответствующих множествах нерегулярных узлов также будут различны. Для того чтобы решение разностной схемы (71) существовало, все они должны быть согласованы между собой, т. е. должны удовлетворять определенным соотношениям на линиях или в точках стыка кусков границы. Например, для первой краевой задачи теплопроводности

условиями согласования будут соотношения или, соответственно,

Теорема. Если решение и задачи (70) существует, разностная схема (71) корректна и аппроксимирует задачу (70) на данном решении, то разностное решение сходится к точному.

Доказательство. Напишем цепочку преобразований:

где есть, по определению, невязка разностной схемы. Делая аналогичное преобразование для краевых условий, получим

Равенства (74) представляют собой разностную схему (71) с правыми частями, измененными на величину невязки. Поскольку разностная схема устойчива, то для любого найдется такое , что если .

В силу аппроксимации для любого найдется такое что при

Следовательно, для любого найдется такое что при Сходимость доказана.

Замечание 1. Некоторые начальные или граничные условия аппроксимируются точно; примером являются граничные условия первого рода и если узел сетки расположен на границе Устойчивости по таким условиям можно не требовать, ибо никакой ошибки в расчет они не вносят (кроме ошибки округления).

Устойчивость по правой части требуется почти во всех случаях, поскольку погрешность аппроксимации в (74) эквивалентна некоторой погрешности правой части.

Замечание 2. Аппроксимацию часто проверяют не на решениях задачи (70), а на некотором широком классе функций, которому принадлежит решение (обычно на классе функций, непрерывных и ограниченных вместе с некоторым числом своих производных). Из замечания 2 в § 2, п. 5 следует, что такая аппроксимация достаточна для доказательства теоремы о сходимости.

Замечание 3. При исследовании аппроксимации и устойчивости конкретных разностных схем нередко используют разные нормы для одной и той же функции. Например, при установлении локальной аппроксимации для берется , а при спектральном исследовании устойчивости — . Доказательство сходимости в этом случае справедливо, только если аппроксимация установлена в нормах более сильных (или тех же самых), чем нормы, использованные для правых частей в определении устойчивости.

Замечание 4. Если аппроксимация или устойчивость условные, то сходимость имеет место при выполнении условий устойчивости и аппроксимации (т. е. при определенных соотношениях между шагами по разным переменным).

Замечание 5. Устойчивость является, как нетрудно убедиться, необходимым условием сходимости. В самом деле, если схема неустойчива, то найдутся такие сколь угодно малые ошибки входных данных, которым соответствует значительная погрешность решения. Сходимости при этом не может быть.

Пример. Рассмотрим явную схему (18) для уравнения теплопроводности (15). В § 2, п. 3 была установлена аппроксимация этой схемы с погрешностью (25), равной . В § 3, п. 4 было доказано, что она условно устойчива в при . С учетом замечания 3 отсюда следует сходимость в норме если выполнено условие

Отметим, что на самом деле имеет место сходимость в но для доказательства этого факта надо обосновать устойчивость схемы в нормах