§ 3. Кратные интегралы

1. Метод ячеек.

Рассмотрим двукратный интеграл по прямоугольнику . По аналогии с формулой средних можно приближенно заменить функцию на ее значение в центральной точке прямоугольника. Тогда интеграл легко вычисляется:

Рис. 18.

Для повышения точности можно разбить область на прямоугольные ячейки (рис. 18). Приближенно вычисляя интеграл в каждой ячейке по формуле средних и обозначая через соответственно площадь ячейки и координаты ее центра, получим

(43)

Справа стоит интегральная сумма; следовательно, для любой непрерывной она сходится к значению интеграла, когда периметры всех ячеек стремятся к нулю.

Оценим погрешность интегрирования. Формула (42) по самому ее выводу точна для . Но непосредственной подстановкой легко убедиться, что формула точна и для любой линейной функции, т. е. она соответствует аппроксимации поверхности, z = f (х, у) плоскостью. В самом деле, разложим функцию по формуле Тейлора

где , а все производные берутся в центре ячейки. Подставляя это разложение в правую и левую части квадратурной формулы (42) и сравнивая их, аналогично одномерному случаю легко получим выражение погрешности этой формулы

ибо все члены разложения, нечетные относительно центра симметрии ячейки, взаимно уничтожаются.

Пусть в обобщенной квадратурной формуле (43) стороны прямоугольника разбиты соответственно на N и М равных частей. Тогда погрешность интегрирования (45) для единичной ячейки равна

Суммируя это выражение по всем ячейкам, получим погрешность обобщенной формулы

т. е. формула имеет второй порядок точности. При этом, как и для одного измерения, можно применять метод Рунге — Ромберга, но при одном дополнительном ограничении: сетки по каждой переменной сгущаются в одинаковое число раз, т. е. отношение N/M остается постоянным.

Обобщим формулу ячеек на более сложные области.

Легко сообразить, что для линейной функции формула типа (42) будет точна в области произвольной формы, если под S подразумевать площадь области, а под координаты центра тяжести, вычисляемые по обычным формулам

(47)

Разумеется, практическую ценность это имеет только для областей простой формы, где площадь и центр тяжести легко определяются; например, для треугольника, правильного многоугольника, трапеции. Но это значит, что обобщенную формулу (43) можно применять к областям, ограниченным ломаной линией, ибо такую область всегда можно разбить на прямоугольники и треугольники.

Для области с криволинейной границей формулу (43) применяют иным способом. Наложим на область G прямоугольную сетку (рис. 19). Те ячейки сетки, все точки которых принадлежат области, назовем внутренними; если часть точек ячейки принадлежит области, а часть — нет, то назовем ячейку граничной. Площадь внутренней ячейки равна произведению ее сторон. Площадью граничной ячейки будем считать площадь той ее части, которая попадает внутрь G; эту площадь вычислим приближенно, заменяя в пределах данной ячейки истинную границу области на хорду. Эти площади подставим в (43) и вычислим интеграл.

Рис. 19.

Оценим погрешность формулы (43). В каждой внутренней ячейке ошибка составляет по отношению к значению интеграла по данной ячейке. В каждой граничной ячейке относительная ошибка есть ибо центр прямоугольной ячейки не совпадает с центром тяжести входящей в. интеграл части. Но самих граничных ячеек примерно в N раз меньше, чем внутренних. Поэтому при суммировании по ячейкам общая погрешность будет если функция дважды непрерывно дифференцируема, а граница области есть кусочно-гладкая кривая; это означает второй порядок точности.

Вычисление площади граничной ячейки довольно трудоемко, ибо требует определения положения границы внутри ячейки. Можно вычислять интегралы по граничным ячейкам более грубо или вообще не включать их в сумму (43). Погрешность при этом будет и для хорошей точности потребуется более подробная сетка.

Метод ячеек переносится на большее число измерений. Мы видели, что к области произвольной формы его трудно применять; поэтому всегда желательно заменой переменных преобразовать область интегрирования в прямоугольный параллелепипед (это относится практически ко всем методам вычисления кратных интегралов).