§ 2. Некорректные задачи

1. Регуляризация.

Если в интегральном уравнении (1) правая часть не зависит от решения, т. е. и входит только под знак интеграла, то задача оказывается некорректно поставленной. Классическими примерами некорректных задач Являются уравнение Фредгольма первого рода:

и уравнение Вольтерра первого рода:

В отличие от уравнений второго рода, ядро уравнения Фредгольма (33) задано на прямоугольнике а в уравнении Вольтерра (34) на трапеции причем функции и определены на разных отрезках и принадлежат разным классам функций U и

Покажем, что задача (33) неустойчива по правой части и, тем самым, некорректна. Для этого рассмотрим высокочастотное возмущение с конечной амплитудой бы (Е) Ему соответствует возмущение правой части

Интегрируя по частям, получим

Это означает, что для достаточно больших частот величина оказывается сколь угодно малой. Следовательно, существуют такие сколь угодно малые возмущения правой части которым соответствуют большие возмущения решения т. е. задача (33) неустойчива.

Для уравнения Вольтерра (34) справедливы те же рассуждения. Напомним, что в главе III мы уже сталкивались с некорректностью задачи численного дифференцирования функции эта задача сводится к решению уравнения

т. е. является частным случаем уравнения Вольтерра первого рода, с ядром (при ).

Кроме того, задачи (33), (34) имеют решение не при любых непрерывных правых частях . Так, задача (36) имеет решение только для дифференцируемых Другим примером служит уравнение (33) с вырожденным ядром; подставляя в это уравнение выражение для ядра (25), получим

Это равенство выполнимо для таких которые представимы в виде линейной комбинации функций для других правых частей задача (33) не имеет решения.

В обоих этих примерах, даже если при некоторой существует решение, имеются такие малые изменения правой части при которых решение не существует.

Очевидно, непосредственно решать некорректные задачи при неточно заданной правой части бессмысленно. Если задана с погрешностью , то соответствующее решение или не существует, или отличается от искомого решения на величину , которая может быть большой.

Даже если задана точно, ко отыскание решения выполняется численными методами, то неизбежно вносятся погрешности метода и округления. Это снова приводит к большой погрешности решения бы

Регуляризирующий алгоритм. Пусть требуется найти решение и некорректно поставленной задачи:

Здесь — некоторый оператор, не обязательно интегральный, a U и F — нормированные пространства. Предполагается, что для произвольной решение задачи (38) может не существовать; однако имеются некоторые для которых существуют решения

Ранее, изучая разрывные решения квазилинейных уравнений, мы вводили в исследуемое уравнение дополнительные члены, изменяющие свойства решений в нужную нам сторону. Попробуем и здесь изменить уравнение (38), введя в него дополнительные члены с малым положительным параметром регуляризации а. Символически запишем измененную задачу:

а ее решение обозначим через

Определение. Оператор называют регуляризирующим, если а) задача (39) является корректно поставленной в классе правых частей F при любом (не. слишком большом) существуют такие функции и что если , то .

Замечание. Функции и зависят также от

Таким образом, если найден регуляризирующий оператор то задача (39) имеет решение при любых в том числе отличающихся от на любого вида погрешность эта задача устойчива, так что ее можно решать обычными численными методами. При правильно подобранном параметре а ее решение на (I) достаточно мало отличается от нужного нам решения исходной задачи (38).

Для одной и той же задачи можно построить много различных регуляризирующих алгоритмов. Кроме того, при заданном пространстве F разные алгоритмы могут давать решения на принадлежащим различным пространствам U.

Различают регуляризацию слабую (U есть гильбертово пространство), сильную (чебы-шевское пространство) и порядка гладкости (пространство О)

Молено формально превратить задачу (38) в корректно поставленную, если ограничиться рассмотрением правых частей принадлежащих некоторому более узкому классу . Например, для задачи численного дифференцирования (36) в качестве возьмем пространство . Малость означает, что невелик; поэтому такой вариации правой части соответствует малая вариация

Однако такой подход не конструктивен. Зачастую содержит заметную погрешность, например, она может быть экспериментально определяемой величиной. Поэтому постановки большинства прикладных задач таковы, что в качестве F приходится выбирать чебышевское или даже гильбертово пространство, причем решение и необходимо получить в чебышевской пространстве.