ГЛАВА VI. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

В главе VI рассмотрены методы нахождения собственных значений и собственных векторов квадратных матриц. В § 1 изложены необходимые сведения по линейной алгебре, рассмотрена устойчивость проблемы собственных значений и даны простые (но сравнительно медленные) численные методы решения. Наиболее быстрые численные методы нахождения всех собственных значений и собственных векторов эрмитовых матриц разобраны в § 2, а неэрмитовых матриц — в § 3. В § 4 изложены методы, которые оказываются более выгодными при определении не всех, а некоторых собственных значений и собственных векторов.

§ 1. Проблема и простейшие методы

1. Элементы теории.

Напомним некоторые сведения из курса линейной алгебры. Если А — квадратная матрица n-го порядка и при то число к называется собственным значением матрицы, а ненулевой вектор — соответствующим ему собственным вектором. Перепишем задачу в виде

Для существования нетривиального решения задачи (1) должно выполняться условие

Этот определитель является многочленом степени от Я; его называют характеристическим многочленом. Значит, существует собственных значений — корней этого многочлена, среди которых могут быть одинаковые (кратные). В принципе можно вычислить характеристический многочлен и найти все его корни.

Если найдено некоторое собственное значение, то, подставляя его в однородную систему (1), можно определить соответствующий собственный вектор. Будем нормировать собственные векторы.

Тогда каждому простому (не кратному) собственному значению соответствует один (с точностью до направления) собственный вектор, а совокупность всех собственных векторов, соответствующих совокупности простых собственных значений, линейно-независима. Таким образом, если все собственные значения матрицы простые, то она имеет линейно-независимых собственных векторов, которые образуют базис пространства.

Кратному собственному значению кратности может соответствовать от 1 до линейно-независимых собственных векторов. Например, рассмотрим такие матрицы четвертого порядка:

У каждой из них характеристическое уравнение принимает вид — а следовательно, собственное значение и имеет кратность Однако у первой матрицы есть четыре линейно-независимых собственных вектора

это легко проверить, поочередно подставляя векторы (4) в равенство (1). У второй же матрицы имеется только один собственный вектор . В самом деле, пусть ее собственный вектор X имеет компоненты тогда уравнение (1) примет для нее вид

откуда в силу условия нормировки. Вторую матрицу называют простой жордановой (или классической) подматрицей. Третья матрица имеет так называемую каноническую жорданову форму (по диагонали стоят либо числа, либо жордановы подматрицы, а остальные элементы равны нулю). Ее собственными векторами являются и в этом легко убедиться при помощи выкладки, аналогичной только что проделанной.

Таким образом, если среди собственных значений матрицы есть кратные, то ее собственные векторы не всегда образуют базис. Однако и в этом случае собственные векторы, - соответствующие различным собственным значениям, являются линейнонезависимыми.

Задача на собственные значения легко решается для некоторых простых форм матрицы: диагональной, трехдиагональной, треугольной или почти треугольной. Например, определитель треугольной (в частности, диагональной) матрицы равен произведению диагональных элементов. В этом случае тоже треугольная или диагональная матрица. Поэтому собственные значения треугольной (диагональной) матрицы равны диагональным элементам. Легко проверить, что диагональная матрица имеет собственных ортонормированных векторов , соответствующих собственным значениям наоборот, матрица с такими собственными векторами диагональна.

Многие численные методы решения задач на собственные значения основаны на приведении матрицы к одной из перечисленных выше простых форм при помощи преобразования подобия. Матрица называется подобной матрице А. Пусть суть собственное значение и собственный вектор матрицы G; тогда что после умножения слева на матрицу F дает Отсюда видно, что суть собственное значение и собственный вектор матрицы А. Следовательно, преобразование подобия не меняет собственных значений матрицы и по определенному закону преобразует ее собственные векторы.

Особенно удобны преобразования подобия при помощи унитарных матриц . Если ортонормированный базис преобразовать унитарной матрицей, то он останется ортонормированным. Если подобно преобразовать эрмитову матрицу при помощи унитарной, то она остается эрмитовой; в самом деле,

Если А — нормальная матрица, то при подобном унитарном преобразовании она остается нормальной; читателям предлагается проверить это.

Известно, что для любой матрицы А есть такое унитарное преобразование, что является верхней треугольной матрицей; если —нормальная матрица, то это унитарное преобразование приводит ее к диагональной форме.

Непосредственно для практических вычислений теорема Шура ничего не дает, ибо неизвестен способ нахождения такого унитарного преобразования. Но одно косвенное следствие является важным. После указанного преобразования нормальная матрица становится диагональной; тогда ее новые собственные векторы образуют ортонормированный базис . Следовательно, собственные векторы исходной нормальной матрицы получаются из ортонормированного базиса унитарным преобразованием и сами образуют ортонормированный базис.

Это существенно, ибо в практике вычислений часто встречаются нормальные матрицы, особенно их такие частные случаи, как эрмитовы, косоэрмитовы и унитарные матрицы. Ортогональные же преобразования обеспечивают наибольшую устойчивость алгоритма по отношению к ошибкам округления. Действия с неортогональными базисами и преобразованиями при больших порядках матрицы нередко приводят к «разболтке» счета (это уже отмечалось в главе II в связи с вопросами аппроксимации).

Не всякую матрицу с кратными собственными значениями можно подобно преобразовать к диагональной форме, но ее заведомо можно преобразовать к канонической жордановой форме. Если же матрица имеет только простые собственные значения, то существует преобразование подобия (не обязательно унитарное), приводящее ее к диагональной. В самом деле, такая матрица имеет линейно-независимых собственных векторов. Матрица F, столбцами которой, являются координаты этих векторов, преобразует базис в базис из собственных векторов. Значит, преобразование подобия с матрицей F приводит к диагональной форме.