Характеристическое уравнение.

Пусть — пространство -мерных арифметических векторов-столбцов над полем . Пусть А — фиксированная -матрица над Рассмотрим отображение для любого Легко проверить, что является линейным оператором пространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть А есть -матрица над полем Вектор-столбец называется собспшнным вектором матрицы А, если — ненулевой вектор и можно представить в виде произведения скаляра и вектора X, т. е. в виде . При этом называется собственным значением матрицы А.

Легко видеть, что собственные векторы и собственные значения линейного оператора суть собственные векторы и собственные значения матрицы А.

ТЕОРЕМА 5.3. Пусть А — квадратная -матрица над полем . Элемент X из F есть собственное значение матрицы тогда и только тогда, когда

Доказательство. Элемент есть собственное значение матрицы А тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой вектор-столбец что и, следовательно, . Другими словами, есть собственное значение матрицы А тогда и только тогда, когда уравнение

имеет ненулевое решение. Уравнение (2) можно рассматривать, как матричную форму записи системы линейных уравнений с переменными с матрицей . Уравнение (2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы равен нулю. СЛЕДСТВИЕ 5.4. Элемент X поля является собственным значением матрицы А тогда и только тогда, когда матрица ХЕ — А необратима.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть — квадратная -матрица над полем . Уравнение с переменной называется характеристическим уравнением матрицы А.

СЛЕДСТВИЕ 5.5. Скаляр есть собственное значение квадратной матрицы А (над ) тогда и только тогда, когда X является корнем характеристического уравнения этой матрицы.

Пример. Пусть — матрица над полем скаляров Тогда

Уравнение

есть характеристическое уравнение матрицы А,

Его корни являются собственными значениями матрицы А.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.6. Пусть А и В — подобные -матрицы над полем скаляров . Тогда и характеристические уравнения этих матриц совпадают.

Доказательство. Так как А и В подобны, то существует обратимая матрица Т над такая, что поэтому

следовательно,

Так как то Отсюда следует, что характеристические уравнения

соответственно матриц А и Б совпадают.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть — линейный оператор конечномерного ненулевого векторного пространства и — его матрица относительно какого-либо базиса. Уравнение называется характеристическим уравнением оператора