Простые числа в арифметических прогрессиях.

Рассмотрим три теоремы (5.3—5.5), которые являются частными случаями более общей теоремы — теоремы Дирихле.

ТЕОРЕМА 5.3. Арифметическая последовательность содержит бесконечно много простых чисел.

Доказательство. Рассмотрим число определяемое равенством , где — целое положительное число.

М есть число вида оно не может состоять только из простых множителей вида потому что произведение чисел вида является числом такого же вида:

Поэтому число М имеет хотя бы один простой множитель вида который больше . Таким образом, для каждого натурального числа существует простое число, большее , имеющее вид

ТЕОРЕМА 5.4. Арифметическая последовательность содержит бесконечно много простых чисел.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству предыдущей теоремы. Рассмотрим число М, определяемое равенством где — любое целое положительное число; М есть число вида . Число М не может состоять только из простых множителей вида так как произведение чисел вида является числом такого же вида:

Поэтому число М имеет хотя бы один простой множитель вида который больше . Итак, для каждого натурального числа существует простое число, большее , имеющее вид

ТЕОРЕМА 5.5. Арифметическая последовательность

содержит бесконечно много простых чисел.

Доказательство. Пусть — любое натуральное число, большее единицы. Тогда как число нечетное, большее единицы, имеет нечетный простой делитель ; следовательно, есть число вида или Предположим, что . Так как для натуральных а и нечетных

Так как

Следовательно,

С другой стороны, по теореме Ферма,

Из (1) и (2) следует что невозможно, так как есть простое нечетное число, большее . Следовательно, должно быть числом вида Мы доказали, что для каждого натурального числа существует простое число, большее , имеющее вид

Доказанные выше теоремы являются частными случаями следующей теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях: каждая арифметическая последовательность где , содержит бесконечно много простых чисел.