Естественное умножение в аддитивной группе целых чисел.

Пусть — аддитивная группа целых чисел. По теореме и всякий элемент из Z можно представить как разность натуральных чисел; следовательно,

В группе определим умножение следующим образом: для любых элементов из Z полагаем

где и — произведения натуральных чисел в системе

Любой элемент из Z представим в виде разности натуральных чисел неоднозначно. Поэтому нам надо проверить, что произведение целых чисел, определяемое формулой (1), не зависит от способа представления их в виде разности натуральных чисел. Покажем, что для любого элемента множества Z из равенства

следует равенство

В самом деле, согласно определению (1),

Ввиду (1) и (4) достаточно проверить, что

или

Ввиду . Следовательно, верны равенства (5), (4) и (3).

Столь же простая непосредственная проверка показывает, что для любых элементов множества Z из равенств

следует равенство

Итак, установлено, что умножение в группе определяемое формулой (1), не зависит от способа представления множителей в виде разности натуральных чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Умножение в аддитивной группе целых чисел определяемое формулой (1), называется естественным умножением.