Любой элемент из Z представим в виде разности натуральных чисел неоднозначно. Поэтому нам надо проверить, что произведение целых чисел, определяемое формулой (1), не зависит от способа представления их в виде разности натуральных чисел. Покажем, что для любого элемента
множества Z из равенства

следует равенство

В самом деле, согласно определению (1),

Ввиду (1) и (4) достаточно проверить, что

или

Ввиду
. Следовательно, верны равенства (5), (4) и (3).
Столь же простая непосредственная проверка показывает, что для любых элементов
множества Z из равенств

следует равенство

Итак, установлено, что умножение в группе
определяемое формулой (1), не зависит от способа представления множителей в виде разности натуральных чисел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Умножение в аддитивной группе целых чисел
определяемое формулой (1), называется естественным умножением.