Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы.

Пусть — поле. Таблица вида

где , называется матрицей над полем У или -матрицей над Введем следующие обозначения для строк и столбцов матрицы: строка матрицы обозначается через столбец матрицы обозначается через

Строки матрицы А можно рассматривать как -мерные арифметические векторы над .

Столбцы матрицы А можно рассматривать как -мерные векторы над

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Строчечным рангом мхтрицы А называется ранг системы ее строк рассматриваемых как «-мерные векторы над . Столбцовым рангом матрицы А называется ранг системы ее столбцов рассматриваемых как -мерные векторы над

Строчечный ранг матрицы А обозначается через , столбцовый ранг матрицы А обозначим через .

Матрица, получающаяся из матрицы А в результате замены ее строк соответствующими столбцами, называется транспонированной к и обозначается М,

Символами обозначаются соответственно строчечный и столбцовый ранги матрицы А.

Пусть

— однородная система линейных уравнений. Матрица А

называется матрицей или основной матрицей системы уравнений (1).

ТЕОРЕМА 2.8. Если однородная система линейных уравнений над полем

с переменными равносильна системе

состоящей из первых k уравнений системы (1), то столбцовые ранги основных матриц этих систем равны.

Доказательство. Пусть А и А — основные матрицы систем уравнений (1) и (2) соответственно. Если матрица А — нулевая, то всякий вектор из является решением системы (2). В силу равносильности систем (1) и (2) отсюда вытекает, что всякий вектор из является решением системы (1). Следовательно, матрица — нулевая и ее ранг равен нулю.

Предположим теперь, что А — ненулевая матрица и

— базис системы столбцов матрицы А. Тогда в силу равносильности систем (1) и (2) система первых столбцов матрицы А линейно независима. Если , то система столбцов линейно зависима. В противном случае в силу равносильности была бы линейно независима система столбцов матрицы А, что противоречило бы предположению (3). Таким образом, система есть базис системы столбцов матрицы А. Следовательно, столбцовые ранги матриц А и А равны.

ТЕОРЕМА 2.9. Строчечный ранг матрицы равен ее столбцовому рангу.

Доказательство. Теорема, очевидно, верна для нулевых матриц. Предположим, что — ненулевая матрица над полем и первые строк образуют базис системы строк этой матрицы. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений над

относительно переменных для которой А является основной матрицей. Рассмотрим также однородную систему

состоящую из первых уравнений системы (1); ее основную матрицу обозначим через А.

Так как первые строк матрицы А образуют базис системы ее строк, то каждое уравнение системы (1) есть линейная комбинация уравнений системы (2). Следовательно, системы уравнений (1) и (2) равносильны. По теореме 2.8, из равносильности систем (1) и (2) следует равенство столбцовых рангов основных матриц этих систем, т. е.

Поскольку столбцы матрицы А суть -мерные векторы над полем , то, по следствию . Следовательно, в силу (3)

Аналогичное неравенство верно также для транспонированной матрицы , т. е.

Легко видеть, что . Отсюда в силу (5) получим, что

На основании (4) и (6) заключаем, что . Критерий совместности системы линейных уравнений. Рассмотрим систему линейных уравнений над полем

Матрицы

называются соответственно основной и расширенной матрицами системы уравнений (1). Вектор b

называется столбцом свободных членов.

Рассмотрим уравнение (над полем )

где — вектор-столбец матрицы .

ТЕОРЕМА 2.10. Уравнение (2) равносильно системе уравнений (1).

Доказательство. Пусть — любое решение системы (1), т. е.

Учитывая, что

равенства (3) можно записать в виде одного равенства

Обратно: предположим, что вектор есть решение уравнения (2), т. е. имеет место равенство (2). Тогда в силу (4) из (2) вытекают равенства (3). Таким образом, любое решение уравнения (2) является решением системы (1). Следовательно, уравнение (2) равносильно системе уравнений (1).

СЛЕДСТВИЕ 2.11. Однородная система линейных уравнений

равносильна уравнению

— нулевой -мерный вектор-столбец.

Уравнение (2) называется векторной формой записи системы линейных уравнений (1).

ТЕОРЕМА 2.12. Пусть А и В — соответственно основная и расширенная матрицы системы линейных уравнений (1). Равносильны следующие утверждения:

I. Система линейных уравнений (1) совместна.

II. Уравнение (2) имеет решение (над полем ).

III. Вектор b есть линейная комбинация столбцов матрицы А, т. е.

IV. Столбцовые (строчечные) ранги матриц А и В равны, .

Доказательство. В силу теоремы 2.10 утверждение I влечет утверждение II.

Если уравнение (2) имеет решение, то вектор b можно представить в виде линейной комбинации (с коэффициентами из поля столбцов матрицы А.

Следовательно, из II следует III.

Если то система столбцов матрицы А эквивалентна системе столбцов матрицы В. По предложению 1.12, это влечет равенство столбцовых рангов матриц А и В. Следовательно, утверждение III влечет IV.

Предположим, что столбцовые ранги матриц А и В равны. Тогда базис системы столбцов матрицы А является также базисом системы столбцов матрицы В. Следовательно, т. е. существуют такие скаляры , что . Последнее равенство означает, что вектор есть решение уравнения (2) и в силу теоремы 2.10 — решение системы уравнений (1). Таким образом, из утверждения IV следует утверждение I. Следовательно, утверждения I, II, III и IV равносильны.

ТЕОРЕМА 2.13 (КРОНЕКЕР-КАПЕЛЛИ). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Эта теорема непосредственно следует из предыдущей теоремы.

СЛЕДСТВИЕ 2.14. Если ранг основной матрицы системы линейных уравнений равен числу уравнений системы, то система уравнений совместна.

Доказательство. Пусть А и В — соответственно основная и расширенная матрицы системы линейных уравнений с переменными. Тогда . С другой стороны, так как матрица В имеет строк. Поэтому Следовательно, по теореме 2.13, рассматриваемая система линейных уравнений совместна,